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'半角'模型 模型1 . 已知如图： ∠2=1/2∠AOB，OA=OB，连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E、FE， 结论：△OEF′≌△OEF。 证明： ∵△OBF ≌△OAF' ∴∠3=∠4, OF=OF' ∵∠2=1/2∠AOB, ∴∠1+∠3=∠2. ∴∠1+∠4=∠2. 又∵OE是公共边， ∴△OEF ≌△OEF'（SAS） 分析： 常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。一般是想要证明线段和差关系； 例子： 在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°， （1）求证：BE+DF=EF； （2）作AH⊥EF于点H，求证：AH=AD。 证明： 将△ABE逆时针旋转90°到△ADE'位置。 ∴BE=DE'，利用半角模型，可知 △EAF ≌ △E'AF。 ∴EF=E'F=DF+DE'， ∴BE+DF=EF。 （2） 作AH⊥EF于点H， ∵△EAF ≌ △E'AF。 ∴S△EAF ≌ S△E'AF。 AH是△EAF在EF上的高， AD是△E'AF在E'F上的高， 又∵EF=E'F， ∴高AH=AD。 注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。 思考：在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。 (1)如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ?； (2)如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。 提示：利用半角模型非常容易 注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。 1 思考：如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。 求证：MN=DN-BM。 提示：将△AMB绕点A旋转至△AB'D的位置，
容易证明△AMN ≌ △AB'N(SAS)。 注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。 1 思考：已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。 （1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系； （2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系
提示：
注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用，为什么能旋转到目标位置同样需要证明。 注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！ |
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