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1、关于一些五大模型的习题： 1）一半模型 在边长为6厘米的正方形 内任取一点 ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 点连接,求阴影部分面积．   2） 燕尾模型 【解析】：利用燕尾模型找出空白部分的面积是整个三角形面积的几分之几，剩下的就是阴影部分。 法1）不妨看△ABC是由△ABH、△ACG、△BCI和△GHI组成的。那么前三个三角形面积一样的。 现在我们研究△ABH与△ABC的关系。 连接CH，假设S△BHE=1份，S△CHE=2份; 看AC边：S△BHE=6份； S△ABC=21份； 那么S△BHE=6/21S△ABC=2/7S△ABC; 同理：S△ACG=S△BCI=2/7S△ABC 所以S△GHI=1/7S△ABC. 【法2】 3） 沙漏模型 解析： 如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= EF= 1/2（a+2a）= 1.5a，所以，  2、关于弦图的了解： 2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展. 赵爽，又名婴，字君卿。中国古代数学家、天文学家。三国时吴国人，一说魏晋人，或汉人，约生活于公元3世纪初。他研究过张衡的天文数学著作和刘洪的《乾象历》，也提到过《九章算术》。
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
公式
如图，2ab+(b-a)^2=c^2，化简便得a^2+b^2=c^2。其基本思想是图形经过割补后，面积不变。刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基础。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
例1、拼割图形 将连在一起的五个正方形拼成一个大的正方形。如图 例2、已知：在正方形ABCD中，AE垂直BE,且AE=3,BE=5,求SOBE。 【解析】：△OBE不是特殊三角形，不妨进行转化，SOBE=1/2SDBE。BE=5，只要求出高就行。 延长AE到F，使得AF垂直于DF。连接DE，那么DF平行BE。那么EF就是△DBE的高。 由弦图可知： DF=AE=3;EF=AE-AE=BE-AE=5-3=2。 SDBE=1/2 ×5×3=5； SOBE=2.5。 【提高班学案】 
1）由于△ABE的高和长方形的宽相同，加上 得知：BE:EC=1:2;同理：DF:FC=2:3。 由鸟头模型： 那么： 则说明：S△AEF:S△ABCD=（1-1/5-1/6-1/5）：1=13/30 2）【解析】构造燕尾：将 S△ABM 、 SNFCG和 SABC建立一定的关系。 连接CM，设S△BMD=1份，分别在图上标出所有三角形的面积,如右下图。 由于S△BMD=1份，那么S△CMD=3份； 看AC边：S△BMA=4份; 看BC边：S△CMA=12份,S△GMA=S△GMC=6份; S△CBA=20份,所以S△BMA=1/5S△CBA; 设S△CNG=1份，分别在图上标出所有三角形的面积,如右下图。
由于S△CNG=1份，那么S△ANG=1份；
看BC边：S△BNA=6份;
看AC边：S△CNB=6份,S△BNF=4.5份，S△FNC=1.5份;
SNFGC=2.5份,S△ABC=14份; SNFGC=2.5/14S△CBA=5/28S△CBA;
根据题意：1/5S△CBA-5/28S△CBA=7.2， 得：S△CBA=336平方厘米。 3）省略 【答案】：1.8 【尖子班学案】 1）省略
【答案】：1.8 2）【解析】利用三角形中位线性质 连接AC，取AC的中点O，连接OG、OH、OE和OF。有：GHEF是平行四边形。 S△DHG=S△CGO=S△AHO=1/4S△ACD ,那么S△OHG=1/4S△ACD ; 同理：S△OEF=1/4S△ABC ; 那么S△OHG+S△OEF=1/4SABCD ； 而根据一半模型：S△OHG+S△OEF=1/2SEFGH. 所以有：SEFGH=1/2SABCD。 3）【解析】观察鸟头模型，看看能否在这样的几何模型中寻找基本的线段比。 取DE的中点P，连接FP。应用沙漏模型 有：PF:EC=1:2,那么FM:BM=1:2,即：FM:BF=1:3; PF:AD=1:4,那么NF:AN=1:4,即：NF:AF=1:5; 应用鸟头模型：SFMN:SAFB=1/3 ·1/5=1:15; 应用一半模型：SAFB：SABCD=1:2； 那么有:SFMN= 1/30 SABCD。
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