|
对称性无所不在。对称性在自然界中有无数表现形式。对称性是艺术，音乐，舞蹈，诗歌和建筑学中的一个决定性要素，并且经常处于中心或关键地位。对称性贯穿于所有科学的领域，在化学，生物学，生理学和天文学中拥有突出地位。对称性遍布于物质结构的内部世界，宇宙的外部世界，和数学自身的抽象世界中。物理学的基本定律，关于自然我们所知的最基础的陈述，都是基于对称性发现的。 当我们还是孩子的时候，我们就从我们的经验中发现了对称性。我们看到它们，听到它们，我们还经验到具有特定对称关系的事态和事件。在花瓣中，在放射性形状的海贝，一只蛋，大树的树枝，树叶的脉络，雪花，或海边看到的海天交接的地平线中我们都可以看到优雅的对称性。我们看到月亮和太阳，它们具有理想对称的碟子的形状，以显然完美对称的圆形轨迹划过夜晚或白天的天空。在鼓声中，在一首歌简单的音调序列中，或在一只鸟的鸣叫声中，我们也能听到对称性。我们在时间中，在机体的生命周期中见证着对称性，同样季节也有对称性，年复一年各个季节会有规则地来临。 人类数千年以来都把对称性本能地等同于完美。古代的建筑师把对称性应用于设计和建造。不管是一个古希腊的神庙，一个法老几何形状的陵墓，或一个中世纪的大教堂，它们代表的都是一种“上帝”愿意居住的地方。在古典诗歌中，比如在《伊利亚特》，《奥德赛》，和《埃涅阿斯纪》这样的伟大作品中，作者使用对称的抒情调来赞美女神或掌管传说和歌曲的缪斯们。一首大巴赫管风琴赋格曲，回响在大教堂的椽子中，听起来散发出一种数学的对称性，好像是从天堂的穹窿倾泻下来的一样。对称性激发人类的情感，就好像在连续的海洋的地平线上看到日落的情景。我们平时在周遭世界中感受和观察到的对称性使我们确信在万事万物的背后确实存在严格的秩序和和谐。通过对称性，我们感觉到在宇宙中存在着明显的逻辑在发挥着作用，外在于我们，但能够与我们的心灵发生共鸣。 当学生们被要求去定义对称性的时候，通常他们的回答都是正确的。关于“什么是对称？”我们会听到这样一些回答：
这些大多是对称的视觉印象。但我们也发现这里包含着一个更抽象的概念：我们发现“相同”是所有这些定义中共同的要素。实际上，一个更一般的关于对称的定义是这样的：
对称性与最基础的数学概念——等价——关系密切。当两个事物是一码事，或者用数学的语言说，是相同的，我们就说它们相等，并使用一个无所不在的符号“=”来表示。这样对称性就是事物间相等关系的表示。这里事物可以是不同的对象，也可以是一个对象的不同部分。事物也可以是一个对象在不同阶段的表现，即在我们对它做一些事情之前和之后。 一个物理系统可以是任意简单粒子，比如一个原子，或很多粒子的一个复杂组合，比如一个分子，一个火箭，一个人，一架飞机，乃至整个宇宙，它们的运动都遵循物理学规律。实际上，只要我们使用物理方法分析，没有什么东西不是物理系统。说一个物理系统具有某种对称性是说我们对系统做一个改变，在改变之后，系统与改变前完全一样。我们称我们对系统的改变为对称操作或对称变换。如果系统在变换后保持不变，我们说系统在变换下是不变的。 所以，科学家会这样定义对称性：对称是一个对象或一个系统在一个变换下的不变性。不变性指系统在形式，外表，组分，排列等方面保持同一或不变，变换指的是我们对系统施加的抽象操作，它使系统由一个状态转变为另一个状态，一个等价的状态。通常我们有无数操作可以把给定系统由一个状态转化为一个等价的状态。 几何对称性的一个简单例子是上釉前的中国花瓶。如果我们把花瓶放在桌子上，让花瓶旋转任意角度（比如37.742……°），不论是它的构成还是它的外观都没有任何变化，旋转前和旋转后花瓶的照片完全一样。假想穿过花瓶的中心垂直于桌面有一条假想的直线，花瓶围绕这条直线旋转任意角度都不变，我们管这条线叫对称轴。这使我们相信我们关于对称性的数学定义与我们的感官经验以及感性经验一致，对称性在这里提升了花瓶在形式和形状上所具有的美感。 ##音乐中的对称性 现在让我们设想一些熟悉的，但并非视觉经验中的对称性。正如我们前面强调的，对称性无所不在，它贯穿于艺术，包括最宏大的艺术形式，音乐。 西方音乐在巴赫的年代逐渐超越了早期的巴洛克风格，早期巴洛克音乐继承自文艺复兴时期，形式上相对简单。属于新时代的音乐逐渐呈现出来，在音乐中有了更多的激情，感性内容，和情绪——德语为Affekt。而且，音乐的形式，结构，风格也在经历演化。 巴赫（1685-1750） 1700年，巴赫是个十五岁的男孩，他赢得了吕讷堡的米歇尔学校的奖学金，这个城市位于今天德国北部的城市汉堡大约30英里。巴赫的奖学金包括免学费和免食宿，并允许他作为成员加入教堂唱诗班。作为唱诗班成员，巴赫除在主日礼拜的时候表演，还参加婚礼，葬礼，和其他各种节日活动的表演。在唱诗班中他唱最高音，但几年后，他的奖学金到期了，并且他也不能作为学生再留在唱诗班中了，因为他开始变声了。 吕讷堡为年轻的音乐生提供了激动人心并且多样化的音乐和智力生活。这里巴赫第一次碰到新的“对称”风格的作曲，这种结构的音乐最早是由那个时代的法国作曲家，如弗朗索瓦·库普兰发现的。通过这些作曲家，音乐变得更加人性，个人，微妙，和不确定，音乐就其结构和形式而言越来越代表人们的日常活动，比如求婚仪式上的舞蹈。并且，正如在舞蹈中一样，音乐也获得越来越多的对称性。 一个简单，规则的鼓点是一个重复的节奏，这是一种时间上的对称。鼓点的节奏度量我们在时间上的相同间隔。根据我们对对称性的定义，鼓点之间的相同间隔就是不变性，随着时间的流逝事物在改变，这就是操作或变换。生理学中心跳的对称是另外一个例子。所以，心律失常是一种不对称。鼓点代表心脏的跳动，是生命的节奏。而音乐则是由鼓点的节奏演化而来。 早期的曲子一般包括一个旋律，我们可以称之为X，它会在一个给定的键盘上反复被演奏，不断重复自身。比如仅比巴赫早四分之一世纪的约翰·巴哈贝尔，他积极投身于18世纪对音乐语汇的扩张，他创作了著名的流行作品——巴哈贝尔的卡农。巴哈贝尔的D大调卡农向我们展示了早期巴洛克音乐的对称。卡农采取了一个主旋律的形式，包括和弦进程D-A-Bm-F#m-G-D-G-A，在一个连续的几乎是钟点式的步调中不断重复自身，并富于聪明的变化和诱人的修饰，比如不同的声音进入，退出，以及和声。 当然，这种形式并没有什么问题，实际上现代作曲家仍然使用这种形式激发人们情感的微妙变化，比如上世纪拉威尔的波莱罗舞曲，这是一个能激发起事件稳定向前情绪的卡农，并最终结束于一个高潮。但在巴赫的年代，音乐才刚刚开始演化出更复杂的对称样式，代表着最初的复合曲式的形式。这样的作品包括被称为乐章（movement）的结构，这个词是对舞蹈的模仿，舞蹈本身就是对自然中见到的各种动作的模仿。这些乐章包括阿勒曼德，库郎，萨拉邦德，基格和赋格，这些名词本身就是当时流行舞蹈的名字。在作曲中，这些乐章遵循一套严格的规则，这些规则定义了它们对称的样式。 现在，第一个乐章X，主旋律，用主音——作曲的核心——写成，它能够改变，或变调为属调（比如，C大调的主调可以变为G大调）。后面跟着第二个乐章，Y，它将是属调中同一主题的组成部分，并转回主调（在我们的例子中，G大调将转回C大调结束）。这样的XY，或两重的形式，在结构上还可以扩充以包括其他形式，比如XXYY，被称为重复的两重形式。后来的形式，比如贝多芬发明的钢琴奏鸣曲——维也纳快板奏鸣曲风格——是这些基本对称样式的推广，这里Y可以是X在一个相关调上的重奏而非属调，可能是某个相对的小调（例如，如果X是在C大调主调上的演奏，那么Y将是X在A小调上的重奏），Y通常会包括对主题X的变奏。 巴赫吸收了这些新概念，但他给音乐注入了比这里介绍的式样更多的对称。在巴赫作曲的很多乐章中包含有对称的部分，存在于所谓的乐节和半乐节中，它们有类似的反映并模仿作品结构对称性的式样。进一步可以在巴赫的作品中发现另一个标志性的特征，前面曾提到过的被称为反复的技巧，即在音乐的X部分和Y部分中使用类似的基于相同主题的小节，但音调的序列相反。个别音乐乐节作为对称组分构成了更大综合物的一部分。作为整体，这些对称组分构成了一个层级结构，它们具有不同时间和空间尺度上的多样性。 听众在第一次听巴赫的音乐的时候经常无法把握巴赫的作品；在我们能够理解这些神奇作品的内部世界之前，这需要耐心，往往需要多听几次，这里的复杂层级结构需要翅膀和不断上升才能达到。当我们开始理解的时候，我们感到正在经历一个新的复杂的宇宙，一个被内在逻辑和对称性定义的宇宙，它的样式被不断揭示出来，层叠不穷。音乐超越了演奏它的乐器。巴赫的音乐在芦笛和电子合成器上与在古钢琴和巨型管风琴上都同样完美。最终定义音乐结构的不是特定的乐器，而是音乐自身的内在结构以及它们产生的整体的情感。 ##球形的地球 对称性给我们的创造力插上翅膀。它为我们的艺术冲动和思想提供了组织原则，它是我们为理解物理世界而提出的各种假设的源泉。现在让我们来讨论另外一个极好的例子：发现地球是球形的。这并没有等到第二个千年，等到哥伦布或麦哲伦及第一次物理地环绕地球航行一周。麦哲伦完成了对这一理论的“证实性试验”（尽管他本人并没有坚持到航行结束，他在一次失败的向菲律宾当地人传播基督教的过程中死掉了）。早在古希腊时期，地球就已经被古希腊的数学家们知道是球形的了，就像天空中的月球和太阳一样，他们甚至还能测量地球的直径。 古希腊人注意到地球有时会挡住射到月球上的阳光，这会导致月食。通过观察在月食期间地球在月球上面的阴影，他们可以看到地球是一个球形的实体，就好像月亮和太阳一样。 埃拉托色尼（276-194 BC） 埃拉托色尼，古希腊学者，古代著名图书馆，埃及的亚历山大里亚图书馆的馆长，在公元前240年左右知道在亚历山大里亚的南面有一个城市叫做赛因，那里有一口很深的水井。在夏至的那一天，即一年中白天最长的一天——6月21号——的正午，由于阳光被赛因深井底部的井水反射，我们有短暂的时间可以看到太阳的完整图像。这说明，此时太阳正好通过赛因的正上方。埃拉托色尼还注意到，这一天，在他的家乡亚历山大里亚，位于赛因北面的800公里（500英里），太阳并不垂直通过城市的正上方。换句话说，太阳并不通过天顶，天空中正上方的一点，此时太阳位于和天顶方向夹角为大约7度的方向上。埃拉托色尼认为，亚历山大里亚和赛因的天顶方向相差了7度。通过一些基本的几何运算，埃拉托色尼得出结论地球的直径是12800公里（8000英里）。 我们今天知道，地球的真实直径，由于地球是椭球形的，取决于你从哪里测量它，这意味着，通过赤道量要比通过两极量大一些，而且地球上还有高山，潮汐，等等，这需要我们去取一个“平均值”。地球的平均赤道直径是大约12760公里（7929英里），而通过两极的平均直径是大约12720公里（7904英里）。这意味着埃拉托色尼以惊人的精度正确地推出了地球的直径，假设地球是个球的话，他的误差达到了小于1%。这在当时是惊人的科学成就。 当然，事实上，正像前面所说，地球并不是一个完美的对称球，就像我们在理想的抽象几何极限下讨论的。球对称只是我们对行星形状的近似，这个形状是由物质聚集的动力学过程决定的，在引力的影响下，形成一个大的固体球。但由此就推论说，比如认为地球是被一个神圣的手创造出来并符合一个宗教的“完美球体”的信仰体系的观点是错误的。 对称性可以是一个有力的工具，即便它仅仅是对现实的一种近似。但我们人类经常犯错误，我们会假设某些事物具有严格的对称性，但实际上这个对称性只是个虚幻或者只是某些其他东西的偶然后果而已。这就是托勒密的地心说所犯的错误，它与宗教一起保持了一个半千年的权威地位。理想的圆和球的对称性被认为是具有神性的，它们是上帝的设计，这意味着它们只能如此，体现为行星，太阳，月亮，和恒星的围绕以地球为固定中心的轨道运动上。 确实，在行星的运动中存在着对称性——但这种真实的对称性是隐藏的，其深奥超越了那个时代任何人的想象。约翰尼斯·开普勒的聪明坚毅使他发现了描述行星围绕太阳运动的正确原则。这些原则看起来令人失望，并不完美，与球对称和几何学的要求相距甚远。尽管如此，它们启动了人类历史上最伟大的智力旅程，从伽利略到牛顿到爱因斯坦，最终揭开的是大自然中最深刻和最深奥的对称性的面纱。 ##数学和物理学中的对称性 数学家已经发展了一种思考对称性的系统方法，它很容易掌握并且应用起来很有成效。这个近乎神奇的主题被称为群论。它最初是由法国数学家伽罗华开创的，虽然他的人生是悲剧性的，并且很年轻（20岁）就因与人决斗死了，但伽罗华为这种思考方式奠定了基础。 伽罗华（1811-1832） 群论是关于对称性的数学语言，而且它在研究自然的基础结构中发挥重要作用。它决定我们所知的力并且是理解全部基本粒子动力学的组织原则。确实，在现代物理学中对称性概念也许是所有概念中最重要的一个。我们现在知道对称性原理决定物理学的基本定律，决定物质的结构和动力学，并且决定了自然界中的基本的力。自然，在其最基础的层次上，是被对称性定义的。我们现在所拥有的这幅图景，是逐渐被建构起来的，大部分工作完成于20世纪，迄今仍未完整。但我们已经有足够多的拼图碎片使我们确信对称性是这幅图景中最基础的。对称性的抽象概念及其与物理世界的联系是经得住考验并值得保留的。 在20世纪新物理学的喧嚣中是人类有史以来最伟大女数学家艾米·诺特的清苦甚至有些悲剧的一生。诺特的学术训练来自于德国的哥廷根大学，那个时代智力宇宙的中心。在哥廷根，她和那个时代最伟大的数学家希尔伯特一道工作，并且她的工作深深地影响了爱因斯坦。那个年代女性科学家是很少的，特别是缺少那些具有领导性地位的女性科学家，诺特在学术工作中发挥着领导性作用的同时自然会承受那些与她女性身份相伴的非议，并最终见证了欧洲文明的崩溃（二战爆发）。她突破了在当时人看来是几乎不可能的障碍成为大学中的讲师，后来仅仅因为是犹太人而被大学解聘。她伤心地与朋友和同事们告别，从此与他们再未见面，最后她在宾州的布林·莫尔大学（Bryn Mawr University）度过了人生的最后几年。 诺特（1882-1935） 在哥廷根，诺特因为她关于数学基础结构的研究而闻名。并且，她曾短暂涉足理论物理学领域，证明了一个关于自然的不同寻常的数学定理。诺特定理是一个深刻的陈述，也许它和已经深入我们心智结构的著名的毕达哥拉斯定理一样深刻。诺特定理把对称性和物理学直接联系了起来。它提供给我们描述关于自然的现代概念的框架并决定了现代科学方法。它直接告诉我们对称性是如何决定我们这个世界的物理过程的。对科学家而言，它是指导我们揭示自然秘密的指引，因为它们深入物质结构的最底层，探索着空间中最微小的距离和时间中最短暂片段。 为了这个任务科学家们建造了人类有史以来最强大的显微镜。它们是巨大的加速器，包括费米实验室的万亿伏特粒子加速器（Tevatron）和位于瑞士日内瓦的大型强子对撞机（LHC）。万亿伏特粒子加速器在一个大圆中沿相反反向加速质子和反质子，达到一万亿电子伏特，然后这些粒子再头对头发生对撞。质子和反质子中的夸克和反夸克会发生碰撞，物理学家会对它们“拍照”得到碰撞的“照片”并以此来研究在最短距离内物质的结构，这个距离相当于我们把一个篮球和冥王星的轨道相比！这样的碰撞将揭示关于物质的基本构成及决定它们如何行为的基础物理学定律。我们发现这种行为是由对称性所规定的。 通过研究在微小距离上的物理学，我们发现自然界中的各种力会逐渐融合并共享一个相同的性质，这种现象是我们在低能物理中看不到的。今天我们知道这种融合，或统一，各种基本力的统一，在它的背后是有一个单一的，精巧的对称性原理作为基础的。这个原理，叫做规范对称，是微妙的。以此为武器，科学家现在可以思考宇宙刚刚开始创生的时候。融合了夸克，轻子和基础的规范力后，我们有了现代的宇宙学。 统一的规范不变的对称性原理的发现使我们对最微小距离的认识发生了巨大的一跃，我们在理论上可以研究比今天最强大粒子对撞机所看到距离还要再小一千万亿倍的距离。这也使得我们有能力去想象宇宙刚刚创生的第百万分之一的十亿分之一的十亿分之一的十亿分之一秒时候的情况。这个时候量子引力就必须考虑了，空间和时间开始破碎，我们对现实的普通概念开始瓦解。此时我们必须通过对称性原理（相关的数学概念还有拓扑，研究表面的可能的形状和形式）去理论地构象最终会出现的各种力的统一。 |
|
|
来自： 新用户05287284 > 《数学》
