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例题：（初中数学综合题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到F，使CF=BE，连接DF和OF． （1）求证：四边形AEFD是矩形． （2）若AD=5，CE=3，∠ABF=60°，求OF的长． 知识回顾 平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行线的性质：两直线平行,同位角相等。两直线平行,内错角相等。两直线平行,同旁内角互补。 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法） （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC且AB=DC，（平行四边形性质） ∴∠ABE=∠DCF，（平行线的性质） 在△ABE和△DCF中， AB＝DC， ∠ABE＝∠DCF， BE＝CF， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE=DF，∠AEB=∠DFC， ∴AE∥DF，（平行线的判定） ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴四边形AEFD是矩形. （有一个角为直角的平行四边形是矩形） （2）解：∵四边形AEFD是矩形， ∴EF=AD=5，（矩形的性质） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=5，OB=OD，（平行四边形性质） ∵EC=3， ∴BE=CF=2，（线段的计算） ∴BF=BC+CF=7， ∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°， ∴∠BAE=30°， ∴AB=2BE=4，（含30°的直角三角形的性质） ∴DF=AE=2√3， （此处用勾股定理，计算过程略） ∴BD=√61， ∵OB=OD，∠DFC=90°， （直角三角形斜边的中线性质） ∴OF=1/2BD=√61/2． （完毕） 这道题是关于四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识等，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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