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例题：（初中数学综合题）如图，已知在△ABC中，AB=BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连BD与AC交于点O，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，连接OE，若∠ABC=60°，BC=6，求OE的长． 知识回顾 菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法） （1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC，（角平分线的性质） ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠ADB，（等量代换） ∴AB=AD，（等边对等角） ∵AB=BC， ∴AD=BC，（等量代换） 又AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，（平行四边形的判定） ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形.（菱形的判定） （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， （由菱形的性质得到） ∴∠OBC=1/2∠ABC=30°，AC⊥BD，OB=OD， （根据一个角是30°的直角三角形的性质） ∴OC=1/2BC=3，OB=√3OC=3√3， ∴BD=2OB=6√3， ∵DE⊥BC，∠DBE=30°， （一个角是30°的直角三角形的性质） ∴OE=1/2BD=3√3． （完毕） 这道题是关于特殊四边形的综合题，考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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