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多题归一建模法 ——一个关于等腰直角三角形的二级“穿越”结论 王 桥 关于等腰直角三角形，有个神奇的二级“穿越”结论： 如图1，已知△ABC为等腰直角三角形，其中AC=BC，CF⊥AB于点F。 （1）若BD=CD，则CE=2EF； （2）若CE=2EF，则BD=CD。 这个结论，运用“飞鱼模型”证明还是比较爽的。咱们“胡乱做平行”一下子，以过点D作FC的平行线为例进行证明（这肯定不是最简单的做法）。 其实，若D为BC中点，F为AB中点，点E岂不是△ABC的重心吗？哈哈，运用三角形的中位线定理岂不一次搞定，这有什么可嘚瑟的？ 别急，如果把这个结论稍微调整下，你就会发现更加有趣的结论。 咱们继续运用“飞鱼模型”的“胡乱作平行”策略进行证明。仍然以过点D作FC的平行线为例。
但是，什么是“穿越”呢？我也想“穿越”一次啊！！！
别急！ 由于等腰直角三角形具有完美的自相似性，如果把这几个图形和结论综合起来，请看如图7......
即：等腰直角三角形一条直角边上的中线必定三等分等腰直角三角形斜边上的高；连接等腰直角三角形一个锐角和其对边的三等分点（分点距离直角顶点与距离另一锐角的比值为1:2）的连线必平分其斜边上的高。 其实，这个结论也不是什么高大上的发明创造，仍然符合“12345模型”的套路。
其实，也是从另一个侧面证明了“12345模型”。如果套用这个“穿越”结论：下面这三道题估计就好办了。
【简析】这道可谓经典。2019年4月在洛阳召开的首届二轮备考研讨会上咱们就研讨过这道题目。段广猛老师的公众号“广猛说题”和天津夏易老师的公众号“夏师数学”均有精彩讲解，这里不再赘述。
例2、（2021贺州）如图11，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，BC=3BE，且BE=CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为多少？ ．选自2022年新版《春季攻势》第3讲“构造方程法”
当然，对于例2，甚至还可能找出更多的方法来：
5、根据勾股定理、面积法求得GN=PM，NM=GP，再根据勾股定理求得OG......
6、求出正方形GHPQ的边长。再求出其对角线的一半.....
7、易求得△BOF的面积=△ODF的面积=△BFC的面积=6，根据BF的长求出OM，再求OG......
8、构造△BOG和△COM手拉手全等......
9、建立平面直角坐标系......
...... 突然发现，这两道题目居然是同一道题目啊！不信你看下：
也就是说，如果把例2绕着点B逆时针旋转90°，居然就是例1。
中国古典名著《西游记》中有“孙悟空三打白骨精”的故事。白骨精为了吃了唐僧肉，三番五次进行变化，但都逃脱不了孙悟空的火眼金睛。因此，那么，段公子和夏老师找出的那么多种解决例1的方法居然都有效...... 公众号“广猛说题”对例1的部分精彩讲解
公众号“夏师数学”对例1的部分精彩讲解
...... 还是那句话：许多题目的解决方法可能会有很多种，其中有的方法简捷，有的方法繁琐，但最终殊途同归，这也正是数学的魅力所在。其实每一种方法都值得尊重！因为，某种方法，在解决某道题目简捷，可能解决另外题目就可能略繁琐些。而另一种方法，解决这道题目虽然繁琐些，解决另外的题目可能就简单些。对于同一道题目，同学们可能会有不同的解法，我们不能轻易否定某种解法的优劣。优劣仅仅是相对性的。一题多解是很好的知识梳理和思维训练的方式。 横看成岭侧成峰。一道题目，从不同的角度入手会有不同的解法，从不同的角度欣赏会有不同的风采。借助一题多解，是训练学生发散思维，帮助学生梳理所学知识和方法的有效途径之一，绝非“为赋新词强说愁”的故弄玄虚；而将许多经常考察的题目进行归类总结，提炼出通法，建立起解决这一类问题的“方法模型”，百川归海，多题归一，万法归宗，不也正是数学这门学科要传递给我们的数学建模思想吗？ 现在大家再看看这道例3，是不是更有意思了呢？
关于例3的解法，详见“老王的数学”《再议模型视觉下的中考压轴小题》也有详细分析（哈哈，应该是“视角”而不是“视觉”——不过标题不能再修改了）。 题目万变，但万变不离其宗；经典的题目，总是常出常新的。 遨游题海，但题海漫漫无边；找出其规律，建立出通法模型，还看多题归一建模法。 何为通法？简单的来说，通法就是“放之四海而皆准”的方法——具有通用效果。多题归一的建模法，难道不是解题的“通法”？ 何为特法？特法就是那种“不走寻常道，一剑封喉的最简捷”的方法——具有特殊的效果。建立了解决某类问题的模型，并能熟练运用这些模型解决相关问题，兵来将挡水来土掩，岂不是掌握了解决这类问题的“特法”？ 一轮来袭，既要串知识点，建立知识系统——夯实基础并形成知识网络、找出这些知识之间的内在联系真的很重要。 一轮复习，又要建立方法系统，这是两届一轮备考研讨会达成的共识。学习方程的目的不是为了解方程，而是为了运用方程思想解决相关问题；学习函数的图像及及性质，也不仅仅是会做几道题，而是要同学们学会运用函数的观点来看待这个运动变化的世界——构造方程法、解决函数问题的通法、解决函数问题的特法、代数最值和几何最值的求法、辅助线的做法......这些都是一轮培优系统《春季攻势》在一轮培优中建立方法系统的大胆尝试。 一轮复习，既要建立知识系统，又要注重建立方法系统。但是，究竟要建立怎样的方法系统？拟或究竟要怎样建立方法系统？经过三年实践的一轮培优资料《春季攻势》的内容设置，即是对这种理念的一种尝试。虽然限于篇幅，没能像一般通用的一轮资料那样各章节及知识点基本能够面面俱到，但是还是尽可能的注重了知识和方法的大系统的建立。 虽然中考都有很明显的地域特点，但是知识和方法是相通的。中考复习是一个系统工程。一轮复习，既要建立知识系统，又要建立方法系统，确实有点难啊。 “双减”政策下，2022年的中考可能会有哪些新动向？——元月1日晚18:00且听第三届一轮备考研讨会李树臣老师“'双减’及新课标背景下的2022中考”的前瞻预判！
鲁南名师李树臣， 累累硕果四海闻； 理论实践相结合， 传经送宝到一轮。 李树臣老师：山东省正高级教师，入选《中学数学》，《中小学教材教学》等刊物的封面人物。《山东教育》特约记者，《中学数学》特约编委。青岛版《初中数学教材》核心作者。获山东省教育科研成果二等奖两项、山东省教学成果奖三次。被评为山东省优秀教育科研先进个人、山东省创新教育优秀实验教师。在省级以上刊物发表论文数百篇，其中教材研究文章100余篇，核心期刊30余篇，被人大复印资料《初中数学教与学》全文转载40余篇。 “双减”政策和疫情影响下，2022年的中考命题走向如何？——元月1日晚19:30—21:30，且听孔祥骞老师“2022年新形势（双减和核心素养）下的命题变革”！
齐鲁名师孔祥骞， 醉心教研数十年； 圣人之后群星璀， 硕果累累众兴远！ 孔祥骞老师：中学高级教师。济宁市“杏坛名师”，山东省曲阜市初中数学兼职教研员，济宁市、曲阜市两级孔祥骞名师工作室主持人，中考命题专家库成员，山东省教育学会数学文化教育研究学会理事，山东省教育厅师范类高校学生从业技能大赛、教师资格证面试专家评委，曲阜师范大学数学科学学院研究生专业学位校外实践导师，湖北大学《中学数学》特约编委。 曾获第三届全国中考数学压轴题讲题比赛一等奖、罗增儒教授提名奖，济宁市教学能手、济宁市优质课一等奖、济宁市级一师一优课、济宁市优秀教学课例获得者，多次执教济宁、曲阜市级公开课，教学案例编写论著3部，发表论文多篇。 多年来，始终坚持学习理论知识，教学实践中注重课堂教学的研究和学生解题能力的培养；注重理论实践结合、追求数学课堂本真、关注学生思维教学的教研风格深受一线老师喜爱，近几年，为全国各地国培、省培及校本培训项目讲课多次，内容涵盖课例研究、解题教学、专业成长、教研活动开展等诸多方面。 2020年10月，联合全国数十家名师工作室组建“众行远”初中数学研修共同体，迄今已成功开展活动14次，在全国教育同行中独领风骚。 一轮备考如何建立大单元构架下的知识系统？且听元月2日晚19:00张锋老师的“思考·行动·设计——单元设计下的数学复习教学”
湖滨有高师，声名贯锡城； 金陵一相逢，至今忆音容； 一轮重研讨，线上授真经； 数海挽长弓，谁与我争锋！ 张锋——中共党员，无锡市雪浪中学校长兼党支部书记。江苏省特级教师，正高级教师，无锡市优秀青年教师，江苏省优秀教育工作者，江苏省初中数学青年教师优质课评比一等奖获得者。“滨湖之光”教育领域高端人才，无锡市首批“未来名家”教育培养对象。出版专著三本，多篇论文发表在省级以上刊物...... 一轮备考如何建立方法系统？且听元月4日晚19:00刘金钟老师的“动态问题的静态化处理策略”。
铅笔数学刘金钟， 压轴传经动化静； 一支铅笔研数学， 绘就一轮新征程。 刘金钟： 勤耕教坛数十年，一线教书匠，邢台市最美教师，用铅笔学数学的倡导者。致力于研究初中数学教学及中考命题 ， 金太阳教育《中考备考》特聘专家。著有《铅笔数学》、《初中数学教师手记》等著作，参编《试题研究》、《一战成名·考前新方案》、《中考王》等书籍。 一轮备考如何建立思想系统？且听元月3日晚19:00唐羊老师的“'数语图说’——浅谈复习课的纵横深浅”。
闽东有名师，榕城出才女； 杏坛一园丁，笔耕青草地； 不辍四十载，思维草根绿； 一轮重出山，天下满桃李！ 唐羊老师——原福州教育研究院数学教研员，曾任福建师大教师教育学院兼职副教授。长期从亊初中数学教学与命题研究、学生学习诊断及家庭教育研究，开设省内外各级各类教育教学专题讲座近两百场...... 更有挑战中考压轴题名师团王勇战老师的“一轮备考系统下的最值探究”，立体教学法朱建国老师的“一轮备考系统下的解决函数问题的通法和特法”等的精彩分享！ 一个人可以走的很快，一群人才可以走的更远！有了这一大批来自全国各地的专家团队的引领，共同商讨一轮备考的大计，相信一定会让你得到不一样收获，并为您的一轮备考提供借鉴。
学习方式：线上学习微师平台（请扫下面二维码） 学习费用及支付方式： 1、每人收费398元； 2、线上报名：请直接点击二维码，并直接在平台上支付； 3、报名联系人： （1）播睿智教育： 王老师 13083669383（微信同号） 张老师 18530923233（微信同号） 张老师 13613835344（微信同号） （2）挑战中考压轴题名师团： 王老师：13783616007 朱老师：13383715858
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