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符强如（新疆乌鲁木齐市实验学校） 【摘要】通过对一道压轴题的解法展示，再次揭示了数学离不开图，图是解析几何解题探究的源泉这一思想，也体现新课改对数学核心素养的直观想象、数学运算等的全面考查，启示我们利用“依形助数”和“数学中的基本”来突破解题障碍，并探索仿射变换在解椭圆相关高考压轴题的应用，以期有抛砖引玉之效. 【关键字】压轴题；仿射变换；优化计算； 在每年的全国各地的高三模拟试卷中，总有一些亮眼的试题.2020年乌市一模压轴题本身表述简洁，蕴含丰富的数学思想，是一道既能提供丰富教学内容的优质题，又能利于拓展想象力并激发学生思维的灵活性，其鲜明的导向性和研究价值，符合新课改对数学核心素养的考查要求.笔者通过深入探析并多角度展现解题思路，希望对同仁教学有所借鉴. 题目（2020乌市一模） 评析 比较常规的求轨迹方程问题.也是课本所选择的方法-五步直译法.源于人教版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）》第47页例6，其实质为椭圆的第二定义.现主要探讨第（2）问. （2）角度一 ：从割补不规则面积思路探路. 思考与拓展 对于解析几何求面积定值、范围问题，可以从上面三个思路出发，其各有各的特点,思路一易想，但对计算能力有要求；思路二以形解题，以形辅数，优化计算 ；思路三仿射变换：实质也就是坐标伸缩变换，其更多是在高等几何中出现的，在高中数学教材中是以例题和坐标变换基本概念形式出现.通过人教A版数学《选修2-1》“椭圆的定义与标方程”例2知道圆经过伸缩变换后可以成为椭圆.教材《选修4-4》坐标变换基本概念：设P(x,y)是平面直角坐标系系中的任意一点，在坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.仿射变换高中阶段解决椭圆相关问题时，主要涉及三点性质： ① 保持共线三点的单比不变（特别地，保持线段的中点不变）； 直线的斜率与变换后的的斜率比值为λ/μ； 保持两封闭图形面积的比不变，即变换前与变换后面积比值为1:λμ [1]. 通过仿射变换实现化椭为圆，将复杂问题转化为熟悉的圆的问题，利用圆的性质大大简化了计算.其对椭圆中最值、角度、定值、证明等问题，起到优化计算的效果.在近几年的高考中也是屡次出现. 高考题型展示
图在解析几何的解题过程中是无声的语言，图也是思维的起点，“形”可直观地表现“数”，将题目中的隐含变清晰，找到数学中的基本进行转化，进而提高学生对数学问题的核心认知.教师应该多挖掘教材背后所蕴含的丰富知识，能从高等数学的角度剖析中学数学问题，看得远，站得高，更有利于理解中学数学问题的来龙去脉，帮助学有余力的学生看清数学问题的本质，有效发展学生的数学核心素养. 参考文献 符强如.例谈伸缩变换在椭圆问题中的应用[J].高中数学教与学，2020（3）7-8. |
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