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如何体会数的运算本质上的一致性呢？我们不妨以简单的运算开始： 5＋4 0.5＋0.4 1/2+2/5这样的三个题为例。 先看5+4，从数数的角度来看，就是从5开始，以“1”为单位，连续的累加4次，就得到了9这个结果，这个运算的过程就是计数单位累加的过程。 0.5＋0.4，从0.5开始，以“0.1”为单位，连续的累加4次，就得到0.9这个结果，这个运算的过程就是计数单位累加的过程。 1/2+2/5，因为分数加法的意义和整数、小数加法的意义相同，这就决定了分数加法的运算本质依然是计数单位个数累加的运算过程。只不过1/2+2/5是异分母加法。它们的计数单位或者叫分数单位取决于它们的分母，因此在进行加法时候，就要寻找一个对它们来说都能获取计数值的新的计数单位，通过通分可以实现找到新的计数单位，这样依然是分数计数单位个数累加。 5x4 0.5×0.4 1/2×2/5这样的三个题为例。 5×4，我们不妨可以看成4个5是多少？就是以5为标准，这个标准是5个“一”，“4”就是4个这样的标准，以“一”为计数单位5个5个的累加4次，累加起来是5×4个“一”得到20这个结果，依然是计数单位个数累加。当然没有具体的图示这样不恰当，只是在说明一个道理。 0.5×0.4，我们可以看作把“1”平均分成10份，取其中的5份，就是0.5，0.5×0.4表示0.5的4/10是多少，就是把0.5再平均分成10份，取其中的4份，这时，新的计数单位“0.01“就产生了。以“0.01”为计数单位累加20次就得到了0.20=0.2，小数的简化书写只不过是小技巧。 用算式表征： 0.5×0.4=(0.1×5）×（0.1×4）=（0.1×0.1）×（5×4）=0.20=0.2，可见小数乘法运算的核心，依然是小数计数单位个数累加的运算过程。 1/2×2/5就是1/2的2/5是多少，需要把1/2平均分成5份，取其中的2份，就是1/2的2/5。 用算式表征： 1/2×2/5=（1/2×1）×（1/5×2）=（1/2×1/5）×（1×2)=1/10×2。依然是找到新的计数单位进行累加的过程。如果再深度思考的话，就是分母乘分母产生新的计数单位，分子乘分子产生了多少个计数单位。 27-9 2.7-0.9 3/10-1/4这样的三个题为例。 减法是加法的逆运算。，减法的本质是计数单位个数递减的过程。 27-9，个位上的7减9不够减，就要从2个十里面借走1个十，拆开变成10个一，这样就以“一”为单位从中递减9次，余下1个一，再把这1个一和原来的7个一累加起来就是8个一；2个十因为借走1个十，所以剩下1个十；最后27-9等于18。 2.7-0.9，十分位上的7减9不够减，就要从2个一里面借走1个一，拆开变成10个0.1，这样就以“0.1”为单位递减9次，余下1个0.1，再把1个一和原来的7个0.1累加起来就是8个0.1；2个一因为借走1个一，所以剩下1个一；最后2.7-0.9等于1.8。 3/10-1/4，因为分数减法的意义和整数、小数减法的意义相同，这就决定了分数减法的运算本质依然是计数单位个数递减的运算过程。只不过3/10-1/4是异分母减法。它们的计数单位或者叫分数单位取决于它们的分母，因此在进行减法时候，就要寻找一个对它们来说都能获取计数值的新的计数单位，通过通分可以实现找到新的计数单位，3/10-1/4，统一了新的计数单位是1/20，具体的就是3/10-1/4等于6/20-5/20，这样依然是计数单位的递减。 42➗2 22.4➗3 4/9➗2/3 42➗2，表示的是把42平均分成2份,求一份是多少。先以为“十”计数单位递减,把4个“十”平均分成2份,每份得到2个“十”，再以“一”为计数单位递减,把2个“一”平均分成2份,每份得到1个“一”，最后把2个“十”和1个“1”累加得到21。整数除法归根结底依然是计数单位的递减。 22.5➗3先把22个“一”平均分成3份,每份分到7个一(21÷3=7),剩下1个一和5个0.1没法直接平均分成3份,所以把一转化成0.1之后再分。1里面有10个0.1,10个0.1加5个0.1等于15个0.1,用15个0.1除以3等于5个0.1,最后把分别得到的7和0.5累加得到运算结果7.5。当高一级的计数单位不够分时,需转化为低一级的计数单位继续分,最终获得运算结果。小数除法,就其本质与小数乘法一样,只不过是计数单位个数递减的运作过程。 4/9➗2/3可以做个转换就是4/9➗（2➗3）=4/9➗2×3=4/9×3/2，这是一个路径。 另一个路径4/9➗2/3=4/9➗6/9=（4×1/9）➗（6×1/9）=4/6=2/3。4/9是以“1/9”为计数单位的,2/3的计数单位(分数单位)是1/3,两者的计数单位不同,这时候就要把大的计数单位细分成小的计数单位,这时再做4/9➗2/3时,计数单位(分数单位)的个数相除就可以了,结果是4/6，约分是小技巧。由此,分数除法的运算核心也是计数单位(分数单位)个数递减的过程。当高一级的计数单位不够分时,需转化为低一级的计数单位继续分,最终获得运算结果。 综上所述：数的运算是一致性，加法和乘法看成计数单位的累加，减法和除法看成计数单位的递减。数的意义和数的运算分不开，数的意义是数运算的基础，反过来数运算是对数的意义的再解读。 |
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