经典不等式链的一些拓展理解

经典不等式链： 

1. 第一部分：调和平均数（HA: harmonic average）

即n个量的倒数的平均数的倒数；

应用场景：样本自变量和因变量的乘积相等的情况下，改变每个样本的自变量，而不改变自变量的总和，随之变化的因变量为调和平均数.

实际例子：

例一：一道小学6年级题目。一项工程甲单独完成需要4天，乙单独完成需要6天，问甲乙一起完成需要几天？

              此题对于一些六年级孩子而言应该不算难题。他们所熟练使用的做法，也是现在很多人第一时间想到的方法便是设“1”法。即需要：

这是我们第一次无意识得接触调和平均数。当然大部分人也只是按公式去理解：总工程量设为x,则甲乙工作效率分别是,所以两个人得工作效率为,进而消去x便得到我们上述结果。

对比该例和我们对调和平均数的应用场景，这里总体的工程量是不变的，所求的工作时间为因变量，自变量为工作效率（和不变）。所求时间即为调和平均！

       调和平均可以通俗理解为“能者多劳”，或者说是“压榨能人”。即能力强的（干活快的）不怕吃亏，大家都埋头苦干就好了（是不是很符合我们的共产主义目标(*^_^*)）。对于每个变量的“能力调和”。

注意：1. 使用简单的调和平均要满足“大家一起”这个条件，如果不满足将变为另一种“调和”，如下面例二。

2.自变量与因变量乘积要保持不变。但有些问题中的不变量并不是那么明显，如下面的例三

例二：与例一条件相同，甲单独4天，乙单独6天，现在要求每天甲干前半天，乙干后半天。问完成整个工程需要多少天？

       此时问题相对例一就变得复杂了很多，当然思考清楚后发现我们可以兴奋得发现每天的工作量是不变的：.那么我们只需要求()。

       这里的出现其实可能很多读者已经感觉到了所谓平均的意义（滑稽脸）。对！就是对变量按权重取期望（看不懂就跳过吧），可以思考下如果是“甲工作前1/3天，乙工作后2/3天，结果又该怎么算”，祝你能快速理解。

       如果上述你能理解，那么下面例三对你便小菜一碟！

例三：小明绕着跑道跑了3圈，同一圈时保持匀速，三圈速度分别为.求小明的平均速度。

很多六年级孩子接触这道题时，当时就懵圈了，直接就得到.

对于有点知识基础的我们而言，我们其实可以发现此时的问题与例二类似（只需要改变例二条件为两人轮换分别每人干一整天），用总路程除以总时间，设一圈为S，则总路程为3S，总时间为,所以：

终于出现了我们开头所介绍的形式！

在例二的最后我介绍了平均的本质就在于加权的期望，这里我把上式改写一下形式希望对读者理解起来有帮助。

即按三部分的时间比例分配权重给速度，求速度的期望。

最后给一个网上的生动解释：

在实际中，往往由于缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数，这时需用调和平均法来求得平均数。

2. 第二部分：几何平均数（GA：geometrical average）

        : 形式上很简单，n个变量的乘积开n次方。

       什么时候使用几何平均数呢？注意不论什么平均数都是描述这些变量的统计学特征（PS:统计学参数还包括中位数，众数，方差，极差等）。

       思考一个具体的数学例子：首项为1，公比为2的等比数列{}.求一个统计学量表示这10个数的分布情况，若采用从小到大最常用的算术平均数（即），你将会发现这个量十分接近。仔细思考下便知道由于指数型增长的关系，算术平均将受后面较大数很严重的影响。这样的统计量不合理，也很不公平。在这里，其实中位数便是一个很不错的值！当然此时几何平均数也脱颖而出，自行计算可以发现此时几何平均与中位数很接近。

       这里我们应该有个初步感觉，几何平均貌似把一些很大很大的数作用给缩小了，同时把比较小的作用稍微调大了

       那么什么时候用几何平均呢？考虑下面一个更为实际的例子。假设一个公司评选优秀员工，参考两项指标，一项是百分制，一项十分制。现在甲得分为(78,6),乙得分为(87,3)；那么甲乙谁更优秀呢？这里思考快的读者估计已经发现问题了，如果用传统的算术平均，则甲平均为42，乙平均为45，我们会推断乙平均更优秀，但这样合理吗？很明显不合理！把第二项指标换也换算成百分制，则两人的得分应该是（78，60），（87，30）.此时再求平均得到甲平均为69，乙平均为58.5;甲超出乙很多！而且这种做法很符合我们的公正性。我们对原数据（78，6）和(87,3)用几何平均数试试，可以得到甲的几何平均为21.63，乙几何平均为16.15

       到这里可能大家都发现几何平均的第一个应用了：对不同标准的量可以进行权重的调整（类似于马氏距离与欧氏距离的关系），又一次说明了平均即为带权重的期望，使得平均数更有说服力。

       但对于上述问题要注意，几何平均一般是没有单位的。比如两个人身高体重分别是(180cm,80kg)和(160cm,70kg).这时用几何平均比较两个人的平均身体水平是合适的，但平均数是没有单位的，只能比大小。

       几何平均更多用于金融学的复利上，举一个简单例子，一个基金连续5年的年利率分别为1%，2%，3%，4%，5%。求平均年利率。我们列式子便能得到:

       这里不再计算，可以明显得到x的求法并不是单纯的.

 

3. 第三部分：算术平均数（AA： arithmetic average）

       终于到了我们最最最熟悉的算术平均，虽然前面一直在diss算术平均，但不得不承认算式平均用途很广！

       这里不再献丑，只是说明一下，算术平均其实就是上面我所提到的期望哈哈哈。刚刚懵逼的读者现在估计要打我了。

       另外在第二部分几何平均时我们发现，算术平均的一大缺点就是很容易受到某些相对于其他量，自身极高或者极低的量影响。所以如果对于实际情况时我们往往去除最高分和最低分来控制随机误差。

 

4. 第四部分：平方平均数（QA：Quadratic average）

        :平方取平均再开方.该平均数用途过少，这里不再赘述。

 

总结：

      1. 不同尺度的比率：使用几何平均数（或在标准化的数据上应用算术平均数）；周期一致的复合比率：使用几何平均数。

      2. 不同周期或长度上的比率：使用调和平均数（或加权平均数）。

      3. 如果数据体现出相乘结构和/或包含较大的离散值：几何平均数或调和平均数可能更合适（中位数可能也比较合适）

      4. 使用几何平均数可能损失有意义的尺度或单位。包含0的数据集无法应用几何平均数或调和平均数，包含负数的数据集意味着无法应用几何平均数

      5. 不需要把调和平均和几何平均看得很神秘。不同尺度评分的几何平均数有时保留了这些值标准化至同一尺度后的算术平均数的次序。此外，由数学公式，我们可以得到几何平均其实可以看做取对数后的算术平均（然后再取反函数变回来）。这一点与调和平均一样，开头我们介绍调和平均时就展示了它本身就可以理解为变量取倒数后的算术平均（然后再取倒变回来）。

      6. 算术平均，几何平均，调和平均统称为毕达哥拉斯平均数。

最后放一张图供大家享用：

A:算术平均； Q:平方平均； H:调和平均； G:几何平均