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女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。 前文回顾: 穿越时空的科学碰撞——中世纪伊斯兰建筑中的十边形和准晶体密铺 几个世纪以来，在没有金属梁的情况下，穹顶一直是世界各地官方和宗教建筑的重要组成部分。穹顶被用来为建筑的砖结构划上句号。基于穹顶的球形结构，它们为建筑地基提供了强度，也使建筑更具有抵抗风雪的能力。除了带来力量和保护的感觉，穹顶内部的设计和装饰也像天空、天堂，以及一个人可能期望看到的"七天"之外的东西。一些当代的宗教建筑或纪念馆仍然采用穹顶，不再是出于需要，而是基于传统或美学目的。然而，这些新穹顶的内部装饰质量却在不断下降。本文的目的是研究穹顶内部设计所产生的空间效果，并提供有关这种设计的方法。穹顶内部的装饰展示了灰泥、镶嵌、陶瓷、绘画和砖块图案结构等艺术形式，以及这些形式的组合。 引言 穹顶内部的装饰，在某些情况下类似于路面、窗户和墙壁的装饰，与二维和三维空间中的形状的几何特性密切相关，这在几个世纪前就为艺术家所熟知。基于现存的穹顶，我们无法将这项艺术追溯到十个世纪之前，因为许多自然灾害和社会灾难摧毁了它们。然而，根据早期文献中的参考资料以及当时的几何学水平，我们可以合理地确定在更早的时候就存在这种复杂的穹顶内部设计。 最早的数学起源于大约五千年前的中东文明。对于巴比伦人和埃及人来说，它是一种实用的工具，在日常生活中必不可少。希腊人从米利都的泰利斯开始，建立了基于演绎推理的数学，而不是通过试错。毕达哥拉斯和他的弟子在接下来的两个世纪里继续泰勒斯开创的系统化工作。欧几里德是柏拉图学派的弟子，他是古希腊伟大数学家中的最后一个，他的13卷本书《元素》（Elements）将几何学公理化的早期工作推向了尾声。希腊人喜欢这一挑战，对建筑所允许的工具设置了非常严格的限制，基本上是利用圆规和直尺。除了少数几个值得注意的例外，几乎所有处理过的图形都可以使用圆规和直尺来构建[2]。 这些关于几何和几何结构的作品后来在7~14世纪之间的中东被翻译和收集。波斯数学家花拉子米（Al-khwarizmi）是8世纪早期巴格达"智慧之家"的成员，他等学者撰写了数份关于算术、代数和印度数字使用的手稿。他们翻译了希腊几何学，收集了来自印度教徒和希伯来教徒的方法，为后来的西方研究保存了重要的知识。"算法"这个词来自于Al-khwarizmi的拉丁翻译，"代数"则来自于他的一本书的书名。另一位中东数学家阿尔哈曾（Alhazen）是第一个纠正对于人眼看物体的理解的人。希腊人认为，要看到一个物体，眼睛的光就会进入物体。他正确地颠覆了这一概念，为透视学提供了基础。他关于光学的论文在1270年被翻译成拉丁文，称为光学词典Alhazeni libri vii。 几何学和几何设计的蓬勃发展，以及只用圆规和直尺来创造复杂结构的挑战，与伊斯兰帝国（包括北非、西班牙以及东欧和中东的一部分）的宗教学者们的信仰相一致。基于他们的信仰，艺术家们被禁止在他们的作品中表现人和活物，因为这些表现被认为是替代上帝的偶像。在1936年的西班牙之行中，埃舍尔参观了阿尔罕布拉宫，这个由来自北非的摩尔人建造的建筑在1922年首次引起了他的兴趣。事后他说："这是我所接触到的最丰富的灵感来源……摩尔人的宗教禁止他们制作雕像，这真是太可惜了！" [4] 这里必须强调两点。首先，尽管在伊斯兰帝国时期盛行密铺设计，但这种艺术要古老得多，因为它被用于早期中亚文明的巴比伦建筑和手工艺品。其次，使用几何图案而不是偶像的做法可能可以追溯到更早。公元前5世纪的希罗多德（Herodotus）曾写道："在波斯人中间，制造偶像、建造庙宇和修建祭坛并不是一种习惯，他们甚至认为使用这些神像是一种愚蠢的标志。"希罗多德引用了偶像崇拜的庙宇。古代波斯传统的琐罗亚斯德教庙宇早在公元前2000年就被考古学家发现了。 2.灰泥艺术 灰泥是一种典型的波斯艺术形式，用于圆顶内部的装饰。在大多数情况下，它伴随着镶嵌艺术、陶瓷和镜子作品。精雕细琢的灰泥精品已经保存了几个世纪，在伊朗的伊斯法罕、马什哈德和喀桑等城市都可以找到。与波斯风格相似的灰泥穹顶内部的例子也位于西半球的西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉宫。 圆形穹顶一般被支撑在方形底座上，各个角落有斜面设计。室内设计从下面的建筑到上面的穹顶的过渡是通过几个三维形状的构造来实现的，如以穹顶为中心的星星的翅膀。在灰泥穹顶的内部，三角形、钻石或星星的三维切割被设计成这样，它们的一些角落朝向中心。这给人一种穹顶上所有其他点都被吸引到中心的感觉。这让我们想起了动态系统中的吸引子——个一稳定的点，所有靠近它的状态都会被吸引过来。图1是一个灰泥穹顶内部的例子。该设计的吸引点在第二个穹顶内。第二个穹顶位于几个围绕圆柱体的窗户之上。在夏天，这些窗户允许空气流动。过去的人们用类似于风滚草的灌木覆盖这些窗户，这些灌木被压实并浸泡在水里。靠近沙漠的城市夏季的热风和强风会吹走灌木丛中的水滴。这个动作需要能量，因此，冷空气的流动会进入建筑物内。值得一提的是，这种带有冷却系统的穹顶通常建在中心的主房间上，周围是包含小穹顶的小房间。 图1：灰泥穹顶内部，中心有另一个穹顶 在某些情况下，穹顶内部的图案显示了多个吸引子。例如，图2显示了一个4个吸引子围绕着中心的主吸引子的穹顶。 图2：喀桑一栋私人住宅的灰泥穹顶内部 除了这5个吸引子外，穹顶还有另外12个吸引子，这些吸引子位于12个孔中，其圆心在一个包含4个吸引子中心的圆的圆周上。图3是一件与瓷砖艺术相结合的灰泥作品。它是伊斯法罕沙阿清真寺（Shah Mosque, Esfahan）的入口，该清真寺由沙阿·阿巴斯大帝（Shah Abbas the Great）在1611~1629年间建造。 图3：伊斯法罕的沙阿清真寺的入口 图4展示了一个穹顶的内部，它使用了吸引子的概念，结合了砖块图案的结构。 图4：喀桑砖砌建筑内部穹顶 3. 灰泥的自相似性 让我们详细研究一下图5中的灰泥穹顶的内部设计。整个穹顶是一个八翼星，有一个吸引子。它的对称性呈现D8二面体群。这颗星被分成了第二组星。这些星星有4、5、6和7个由镜子制成的翼。7翼星是不规则的，并非所有的边和角都是全等的。星星与几何形状的切口相连，周围环绕着指向中心的尖翼的星星。 图5：镜面灰泥穹顶内部 在某些情况下，当艺术家用瓦片而非镜子来覆盖每个五翼星的表面时，我们会有另一个类似于整个穹顶的星星序列，正如我们在图6和图7中看到的那样[6]。 图6：伊斯法罕Ali-Gholi Agha清真寺 图7：伊斯法罕Kaseh Garan学校 在这一阶段，由于每块瓷砖大小的限制，艺术家不会继续制作下一系列较小的星星。然而，自相似的概念[7]是显而易见的。我们观察到五翼设计的吸引子位于一个十翼星星的中心，它具有D5型二面体对称群 图8显示了上图中作品背后的设计。该设计只需使用圆规和直尺就可以建造。要做到这一点，首先要在图8中构建周围的五翼星。 图8：五翼星的"骨架"设计 这颗星可以通过将一个圆划分为10段相等的弧来构建。为此，我们把一个圆分成5段弧，如图9（a）所示，然后用圆规和直尺把每段弧分成两半。我们也可以像图9（b）那样直接把它分成10段弧。 图9（a）：把一个圆分成5段相等的弧 第二张图来自1485年首次出版的莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂的《建筑十书》。值得一提的是，圆的半径的黄金分割的较大部分将圆分为10个相等的弧。在[8]中的第90和91页，有一些艺术实例说明了把圆分成10段弧和5段弧的影响。 图9（b）：把一个圆分成10段相等的弧 图10显示了一个被分成10段相等的圆弧的圆。我们将其中一条圆弧的端点（称为第一个点A）顺时针连接到第四个端点D，然后继续。然后我们可以构建一个3/10的星形多边形。数字3表示在每对连接的顶点之间跳过的顶点数，而数字10表示顶点总数。使用这个星形多边形，我们可以构建我们需要的五翼星形。
图10：构建一个72°的锐角五翼星 现在考虑构成这颗星的五个菱形中的一个，称之为菱形ABCD（事实上，这个菱形中只有四分之一可以通过反射和旋转对称来创造出整个星星的设计）。我们把钝角分成六个相等的角，把锐角分成4个。为此，如果我们看图10，我们注意到锐角，例如<A，是与圆弧DH相反的顺时针内切角度。该圆弧被划分为四段相等的圆弧DE、EF、FG和GH。将A连接到这些点上，并将锐角分成四个相等的角。钝角等于图11中的角度<IAC。该角度与顺时针方向的圆弧CI相反，圆弧被分成六段相等的圆弧。用与锐角相同的步骤，我们可以把这个角分成6个相等的角。 设O是两条对角线的交点。两条直线C-4和B-3在E相交。我们以C为圆心，以CE为半径作弧，以求DC上的点F。从F开始，我们画一条与C-5平行的线。这条线和D-1在G相交。从G开始，我们与D-3平行，在H上与CD相遇，在Z上与C-5相遇。我们在CD上找到L，使得DH=LC。从H开始，我们画一条与AC平行的直线，从这条直线的交点开始，我们画一条与A-1平行的直线。这就是HG边的四边形。K是DC的中点。从K开始，我们做两个比较，一个是AC，另一个是B-3。从L开始，我们画一条平行于AC的直线，与M上的C-5和N上的D-1相交。R是LR的交点，它平行于B-3和AC。T是C-4和一条从N平行于C-1的直线的交点。从L平行于B-3的直线和C-5直线的交点给我们一个点。S是AC和从该点到C-1的平行线的交点。
图11：使用圆规和直尺划分菱形 4. 玫瑰穹顶内部 下图是德黑兰大理石宫殿穹顶的内部。穹顶模仿伊斯法罕的Sheik Lotfolah清真寺，在17世纪早期由沙阿·阿巴斯建造。
图12：德黑兰大理石广场的穹顶内部 圆形玫瑰图案是根据重叠的圆的排列而产生的。16个全等的圆，称为径向圆，被放置在一起，它们有一个共同点。因此，每个径向圆的中心都位于一个圆上，称为中心环，它本身与任何一个径向圆都是全等的。这个共同点就是中心环的中心。与中心环同心的外圆，其半径等于各径向圆的直径，是参考圆。
图13：16个圆圈的玫瑰花环设计 改变径向圆的数量或增加径向圆的直径相对于参考圆的半径会产生不同的花环，这些花环已经在[9]中进行了研究和说明。图14（A）和（B）展示了另一个穹顶内部的设计，其基础是将一个圆划分为16个圆。
图14：穹顶的内部设计和构造，将圆圈划分为16个部分 穹顶内部的设计，以及墙壁和人行道的其他设计，都是由艺术家几何学家建造的。他们非常熟悉欧几里得几何定理和性质。这些设计通常由粉刷匠和其他艺术家建造者收集，他们会把它们传给下一代。这些设计被画在画卷上。主要线条是用墨笔画的。然而，所有的圆都是用没有铅笔的圆规画的。圆规的两端都是锋利的金属。金属在卷轴上蚀刻了几乎看不见的栅格。然后用直尺和墨水画出图案。今天，这些卷轴已经消失了。 尽管像7这样的数字在东方文化中具有神秘和宗教的重要性，但我们没有观察到任何圆顶设计或任何其他结合了规则的七角形或规则的七翼星形的墙壁或地板设计。事实上，前面部分介绍的设计的几何结构包括规则的3、4、5、6、8和10，但遗漏了7和9个多边形。其原因很可能与可构造正多边形的概念有关。 古代数学家发现了仅用圆规和直尺就能构建3、4、5、6、8和10边的正多边形。他们所知道的其他可构造正多边形的列表包括15个多边形和任何有两条边的多边形作为一个给定的可构造多边形。直到1796年，数学家们无论付出多少努力，都没能成功地用圆规和直边构造出一个正七边形，也没有证明这种构造是不可能的。两千多年后，19岁的年轻学生高斯证明了正七边形是不可能构造成功的。事实上，他证明了在一般情况下，构造一个奇数边的正多边形是可能的，只有当这个数字是典型的费马数2 k + 1（k =2^ n），或者是不同的费马素数相乘得到的数才不行[10]。这样的结构对于7号和9号都是不可能的。 高斯最先证明了正17边形是可构造的，他用很短的时间就完全解决了这个问题。这一发现是在1796年6月1日宣布的，但他在3月30日就完成了，这促使这位年轻人选择了数学而不是文献学作为他的终生职业。他要求在他的墓碑上刻一个正17边形。割圆扩张是现代代数和古代几何构造问题结合在一起的一个课题。在这个主题中，高斯的主张可以用伽罗瓦理论在相当短的论证中得到证明[11]。当然，高斯在他的证明中没有使用伽罗瓦理论，原因很简单，那就是他的证明发生在伽罗瓦出生前15年。适用于业余数学家的证明可以在[12]中找到。高斯的方法可以在[13]和[14]中找到。 6.一壶酒，一条面包，还有你 奥马尔·哈亚姆（Omar Khayyam）于1048年出生于波斯的内沙伯尔，是一名数学家和天文学家。尽管如此，他在西半球的名声主要来自爱德华·菲茨杰拉德（Edward Fitzgerald）的《鲁拜集》（Rubai Yat）的改写版本。《鲁拜集》是他的四行诗的合集。四行诗是一段有四行押韵的诗句。他主要负责修订至今仍在伊朗官方使用的“贾拉利太阳历”（Jalali Solar Calendar）。在他的故乡和曾经组成苏联的北方邻国，他被认为是“真理的证明”，是对科学家的最高赞誉。 在奥马尔时代，伊斯兰世界的大学蓬勃发展，建造了许多天文台。Khayyam是Neyshabur Nazamieh的教授，Neyshabur Nazamieh是他同时代的著名副部长Nezam Ol-Molk创建的一系列大学学院之一。Khayyam在代数中研究并获得了独到的结果。他的工作延续了19世纪数学的许多发展主线。他不仅发现了求任意高次根的一般方法，而且他的《代数》首次完整地处理了三次方程的解[15]。 Khayyam在几何学方面的大部分工作都围绕着欧几里得的第五个公设，即平行公设展开。他提出了一个四边形的想法，这个四边形的两条等边垂直于底座。他承认，如果他能证明剩下的两个角是直角，平行假设就会得到证明。他失败了，但他关于四边形的问题成了讨论平行假设的标准方式[15]。 尽管Khayyam的个人宗教信仰问题仍然是一个棘手的问题，但学术观点的平衡是，他是一位正统的神学家，他写的四行诗是一种私人的怀疑论练习。 他卒于1122年。他的陵墓在内沙伯，是近几年来建造的。整个陵墓由一个圆顶组成，四面八方都是敞开的。它的设计体现了传统图案和现代建筑的结合。
图15：Khayyam陵墓的穹顶内部
图16：Khayyam陵墓 7. 结语 在波斯建筑中，是几何学为建筑和设计提供了多样化的风格发展；不仅是为了服务于功能，也是为了通过协调建筑元素，如穹顶、柱子和装饰元素来唤起情感反应。那个时代的艺术家和建筑师将几何学转移到协调的艺术中，使人们的感情和情绪参与其中。穹顶内饰所涉及的复杂几何学显示了艺术家们如何通过涉及重复、节奏、步调、规模和色彩组合的复杂几何学设计来试图表达他们的感受和情绪，以及他们的信仰和哲学。灰泥穹顶的建造表明，他们也意识到了三维欧几里得空间的几何学。这些设计通过自相似性揭示艺术家们对分形几何的认识。 参考文献 [1] D. Bergamini and the editors of LIFE, Mathematics, Time Incorporated, New York, 1963. [2] R. Newman and M. Boles, Universal Patterns, Second Revised Edition, Pythagorean Press, Bradford, Massachusetts, 1992. [3] J. Bronowski, The Ascent of Man, Little, Brown and Company, Boston/Toronto, 1973. [4] D. Seymour and J. Britton, Introduction to Tesselations, Kale Seymour Publications, Paloalto, Canada, 1989. [5] F. Mehr, The Zoroastrian Tradition, Element Inc., Rockport, MA 1991. [6] M. Maher An Naghsh, Design and Execuiton in Persian Ceramics, Reza Abbasi Museam Press, Tehran, 1984. [7] D. Peak and M. Frame, Chaos Under Control, W.H. Freeman and Company, New York, 1994. [8] J.Kappraff, Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science, McGraw-Hill, Inc. New York, 1990. [9] K. Williams, Italian Pavements Patterns in Space, Anchorage Press, Houston, Texas, 1997. [10] E.T.Bell, Men of Mathematics, Simon & Schuster, Inc. New York, 1986 [11] J.A.Gallian, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, Boston/New York, 1998 [12] N. D. Kazarinoff, Ruler and the Round or Angle Trisection and Circle Division, Prindle, Weber & Schmidt, Inc. Boston, 1970 [13] C.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, translated by Arthur A. Clarke, Yale University Press, New Haven, Conn., 1968. [14] J. W. A. Young, Monographs on Topics of Modern Mathematics, Young, editor, Longmans, Green and CO., New York, 1911. Volume 3, Chapter VIII, by L. E. Dickson, Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons. [15] Encyclopedia Britannica Online, http://www.:180. [16] Reza Sarhangi, The Sky Within: Mathematical Aesthetics of Persian Dome Interiors 最后照例放几本扯犊子书目 青山不改，绿水长流，在下告退。 转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。 |
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