一题一研006元旦供题的那道压轴题是偏题吗？

在今年元旦前夕，笔者为初三同学提供了一套练习题，即元旦供题。编制一套理想的试题绝非易事，素材选择、数据设计、编辑定稿都需要付出相当多的精力，但作为供题者，更加需要花精力的地方还是在试题的反馈上——是否起到了练习效果？难度合理吗？导向正确吗？

元旦供题并非是标准的模考卷，而是主动做了一些探索尝试的练习卷，除少量基础题为陈题外，大多数题目都是新编题（比较特殊的是第16题，它是学生家长提供的刚刚考完的研究生初试管理类联考中的一道数学题）。这套试题由于缩减了两道题，压轴题的题号由传统的25变成了23。对于这道几何压轴题，学生反馈不一，“看着卷面吓人”与“做起来有意思”兼有。由于反馈样本数量的限制，加之样本群体的偏差性，从测量学的角度进行定量分析以后有机会时再进行，本文主要对此题作学科的质性评价。做这个评价，更具体的一个目的是确定这道题到底是淡化套路还是剑走偏锋？当然，好题与偏题都是在做价值判断，特别是一般命题要求中“杜绝偏题、怪题”是针对高利害考试的选拔要求来说的。仅仅从数学问题的角度来说，应该是没有偏题、怪题的说法与讨论的。

不再赘言，我们来看试题：

如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC交BD于点E，且AC⊥BD，BD＝24．

动点P从点A出发，以一定的速度向点B运动，到达B点后返回A点，如此在线段AB上做往复运动；动点Q在点P出发1秒后从点C出发，以一定的速度向点D运动，到达D点后返回C点，如此在线段CD上做往复运动.图2、图3分别表示线段AP和线段CQ的长度随着点P运动时间变化而变化的情况.

试题的第一个难点在于没有把完整的图形数据告诉学生，而是需要学生从图像中自主获取信息，这样的呈现形式在以往的初三压轴题试题中是几乎没有的。在学生的反馈中，还了解到一个充满人文关怀的小细节，由于图2图3网格线较多，命题人应该考虑到个别有“密集恐惧症”的同学的困难。学生的视角总有不一样的东西！虽然这个问题从试题的考察要求上来说，调整起来确实有一定困难，但是本质上还是反映了命题时不能忽略学生的非理性因素，尽力给学生不造成不必要的干扰。例如，给了配图却偏差很大、设点表述混乱、设问不明确、刻意“挖坑”等问题，往往会伤害学生的“感情”。

读图可确定AB、CD的长分别为20、13，这样由勾股定理就可以计算出AE的长，解决第一问。这样发现条件的过程其实也是一种发现学习的过程，“从图中来又到图中去”。

具体解答如下：

下面来解第二问，①是常规的三角形面积问题，难点在于需要分类讨论，因为在前20秒的运动过程中，Q发生了折返。这种分类讨论和传统的存在性问题的分类讨论的模式并不同，具有一定的新颖性。△APC和△AQC共底AC，两者面积相等时，实际上就是两者AC对应的高相等，这个转化不算是难点。分析到这里，就可以直接用三角比列出方程，解方程是基本的分数运算，也比较简单。

解答过程如下：

接着说第二问的②，在题干中笔者描述了命题过程中的一个真实尝试经历——在原来的条件下设置P、E、Q三点共线求x，不借助工具解方程对于学生来说不现实，只好放弃这种命题方案。在学生解题的直接经验中，或多或少都有过“要是把题干条件改一下就好算了”的想法。这种让学生感知命题过程的互动设计，或许可以在一定程度上缓解学生对试题的畏惧心理，并且增加他们解决问题的动机。除此之外，笔者更改条件后给学生提供了两个方向供选择，客观上提高了学生解题的参与感。不论是三点共线还是平行，都是转化为角（三角比）相等，这样的基本且核心的知识点回归应该是比绝大多数压轴题简单一些的。

解答过程如下：

笔者对这一问多说一点。这两个设问是否存在符合题意的x，在实际计算出来结果出来前是并不知道的，没有什么绝对的高观点，而且“形少数时难入微”（华罗庚先生语），如本题的II的解与正确范围是相差比较小的，不计算出来只靠感觉也难以让人信服。因此，出题老师也是要靠一点点的数据调整与反复验算才能敲定最后的设问，这也是编题时一个棘手的地方，希望同学们在解题能够用同理心换位思考一下。另外，笔者还有一个意图：“存在与否”类的设问方式被有些学生默认是“一定存在”，这是需要纠正的。当然，必须说明的是，从心理学的角度来讲，“有解”是更符合学生的解题心向，本题同样可以设计出有解，如改变运动时间差或动点运动速度等，这里不具体展开。

下面来说最后一小问，即第二问的③。基础扎实的同学在解答前面的问题时，只要解题时间充足，绝对的困难还是较小的，而真正的拦路虎就是这最后一小问。先说笔者的命题想法，注意到周期运动的规律后，考虑设计方程的整数解问题，这种思路的好处在于可以考察学生在空间上对图形整体结构的定性把握，以及在时间上对动点周期往返的定量计算。不过，这种设问的一个大问题是整数解的问题本质上虽然只是解二元一次方程组，但得到整数解的处理方法的技巧性有“超纲”的嫌疑（预初年级确实有求简单整数解的练习题）。从问题解决能力培养的角度来说，这种探索还是有一定意义的，一套试卷应该要有比较陌生的一小问，从而给学生提供展示的机会。实际上，这种问题和一般用相似求解几何定值的常规问题相比，还有一个好处就是学生的刷题压力没有那么大，只要学生对命题有合理的预期，就能够让更多学生尝试解答最后一问。毕竟，压轴题也未必一定要简洁明晰到“冷冰冰”的样子。在学生的解题训练中，只要有一次完整突破压轴题的契机，亟需拔高的学生解压轴题时的信心往往就能够在教师科学的引导下逐步建立起来，这比教师或家长的夸奖要有用得多。（本小问的设计思路吸收了2018年上海中考25题最后一问的命题意图，有兴趣的教师可以参看一下）

下面笔者提供一种分析：

关于这一问，笔者再补充3个方面：1在命题设计上，这一问可以改成填空题，逐步引导学生思考；

2在讲解时，笔者联想到了日全食的跨学科背景。假如我们把点E看作月亮，动点P看作太阳，动点Q看作我们的地球，那么当点P运动到点B时，点Q也恰巧同时运动到点D时，就相当于发生了一次日全食（太阳光被月亮全部遮住）。天文学家通过一定的周期规律可以预测下一次日全食的时间，我国境内下一次日全食预计在2034年3月20日（最近一次是在2008年8月1日）。有兴趣的同学可以算算这一题第二次出现点P运动到点B时，点Q也恰巧同时运动到点D时的x。

3在解方程时，希望大家不要畏难。如果数字太大了，我们可以借助一定的工具来解决，首选的就是科技与计算机。比如用C语言（一种程序设计语言）求解二元一次的整数解就是一个十分有意思的问题，掌握一定的编程思想在今后应该是会越来越重要的。

完整梳理完这道题后，这道题到底是不是偏题呢？我的想法是：“不常规，可练习”。