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关于费马大定理由来和解决过程的阐述。相比《大图景》，这才是真烧脑的科普+数论史，辛格列举了不少有名的数论问题和证明，并解释这些算法的巧妙。 数学证明是最强悍而完美的证明，数学逻辑的严密性最高。从某种程度上来讲，数学证明是可以做到绝对和唯一的。相比而言，科学证明的严密性和鲁棒性就要差很多，因为科学常常涉及自然和生活实际——不仅仅依靠公理、定理和逻辑，还需要依靠测量观察和事实证据。恰恰是这个测量、观察，以及所谓的事实证据，是最容易出现差错的地方——起源于人类认知结构的局限性。所以说，科学证明和数学证明分属两个不同的范畴。 科学的过程无非是经验假设，逻辑架构，可验证结论和试验验证，一项理论提出就是要能解释现象，并且能力所及的范围内收集到支持这种解释和预见的证据，证据越多，就说明理论的解释范围越大，正确性越大。直到某天出现了其不能解释的现象，或者理论自身出现矛盾，则可能引发一种新的假设-逻辑和验证过程，称之为科学革命。从人类认知结构的有限性，可以引申出科学理论应当是可被证伪的理论。当然，那些自称能够发现人类和世界真理的科学理论除外。 数学却一直属于另一个世界——从三角形在人类的观念中出现之后，三角形的内角和就是180度。不论实际生活中是否能找出一个完美的三角形，也不论时代和人类认知如何变迁，这个观念一旦产生，就几乎是永恒的。这是柏拉图所说的理念世界，也是波普尔所说的第三种世界。 不然怎么说，能够用数学证明的事物，那才叫完美呢。东西方文明中，很早就都发现了毕达哥拉斯定理这个东西——直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方之和。毕达哥拉斯并非这个定理的最早发现人，不过他却是第一个留下了数学证明的人。一个经验或者观念能够被发现是一回事，而通过数学方法进行证明，使之变成一个普遍适用的定理，那就是另一回事了。毕达哥拉斯的贡献在于，他提出了数学证明这个概念和模式，不仅斜边平方等于直边平方的和，而且，如果任何一个三角形符合这个特征，那它就一定是直角三角形。事情就是这么有趣。这么早就发现的一个在后世看来很简单的定理，却蕴含了两个惊人的结果——其一是一个困扰了数学界358年的难题，其二是相对论因子。先说第二个结果——这么简单的定理，居然是爱因斯坦计算出时间相对性的关键因子（有关的过程，敝号在《无言的宇宙》中介绍过，弊号还给出了本人某天早上上班路上尝试用勾股定理推导相对论因子的推导过程）。 第一个结果，则是数论中最麻烦的问题，当然，也属于人类自找麻烦的事——三元数组问题。所谓三元数，就是指符合X2+Y2=Z2这个结构的三个数。我们都知道3，4，5是第一个三元数组，还知道第二个5，12，13等等，随着数字增大，数字之间的距离增大，出现的频率减小。 从几何角度来看，其实就是把构成两个小正方形的诸多小板块，一块不落地构成一个大正方形。所谓费马大定理的难题，就是突然想到，如果那个幂不是2，而是3，或者4，或者10，是否还有相应的数组解？也就是，当n＞2的时候，Xn+Yn=Zn有没有整数解呢？人们尝试过3，用几何角度来看，就是把构成两个小立方体的小块，一块不落地组成一个大正方体——不论怎么找，总发现会缺一块，或者多一块。 于是十七世纪的费马出现了，他的定理就是，这个问题没有解，也就是不存在这么三个数，符合上面那个方程。没有解可以，但你怎么证明它是没有解的呢？ 皮埃尔·德·费马1601年出生于法国。家庭条件优越，他其时学的是法律，毕业之后，也一直在担任公职，并非全职搞学术的人——那个年代，科学研究还属于一种贵圈里的游戏，没有足够的资金支持搞不定的。费马是在担任图卢兹议会最高法官时期，开始他的业余数学研究的。而且他的研究非常孤立——基本上就是一个人在捣鼓，很少跟人交流。 那个年代，尤其是搞数学，因为与商业相关，新发明一种数学方法来精确计算利息之类的，都属于商业机密，人们很少会相互交流。这时候冒出来一个图卢兹的神父梅森尼，他不仅对科学极其感兴趣，本人对于数论也有些贡献，最重要的，是他创立了一个科学家相互交流的学术传统——他在十七世纪初期，决定打破一直以来大家在数学研究方面老死不相往来的习惯，以他本人为中心，建立一个学术交流圈。知识的自由交流，是后来科学突飞猛进的关键，这一点，我们在今后另一本书《理性乐观派》里会详述。 科学交流，比之于大家独立研究，对于推动人类知识的积累和科学发现，起到的作用是不可估量的。没有交流积累，人类再厉害也可能只是原地踏步。 正是因为梅森尼的存在，让我们今天得知了费马的天才级工作，也让这些工作成为后世诸如牛顿、莱布尼茨等牛人工作的基础。 梅森尼搞交流的方式很简单，不断地跟周围搞奇怪研究的人们通信，互报发现和结果。通过这个圈子，费马结识了和他一样名垂青史的牛人帕斯卡。也正是通过梅森尼的撺掇，费马和帕斯卡合作创立了概率论这个神奇的学科。费马算是第一个提出并解决概率问题的人。梅森尼和法国数学家们之间的通信稿，后来演变成了通讯稿，接着就成了学术期刊的起源。 不过费马这人有点恶搞，他不像其他人那样老实，他喜欢捉弄人，经常不给出全部证明过程，让大家来猜。这点让帕斯卡痛恨至极。现在回想，估计费马之所以这么干，主要是出于一个不想对一个问题纠缠过多的理由，如果给出全部证明，就会吸引一群人来质疑，而费马因为兴趣广泛，他提出一个问题，给出一个解答，就马上进入到下一个问题，从来懒得去深究。 他可确实不是提出了费马大定理这么简单——后来人们在牛顿的笔记中发现，其实费马才是微积分早期的创立者，牛顿记述，他是从费马先生的曲边切线理论中推出微积分来的——曲边切线，不就是导数问题嘛——一个量对另一个量的变化率。费马还从光学研究中得出了一个著名结论——最小作用原理。这也是挺吓人一个东西——光线总是取最短路径，包括物体运动也是，这个原理后来从普通的经验原则，发展成为了一个科学理论原则——简洁。 费马还发现一个奇特的数字——26，他证明出，26这个数字是唯一一个夹在一个平方数和一个立方数之间的整数，即25（52）和27（33）。有意思吧。 费马提出的定理假设，就是那样惊人的简单——一个拥有小学数学能力的人，就可以毫不费力地理解这个问题——在包括数学在内的所有学科，物理、化学中，还没有一个问题，更不用说疑难问题，能够表述得如此简单，却又如此难解的。费马在他业余时间阅读中世纪丢番图的名著《算术》时，喜欢在书的页眉页脚这些地方写下一些感想和证明。当时书的印刷版面特点使得页眉页脚空间很大，不然也就可能留不下这道著名的定理了。 费马在提出这个定理的那一页的页眉上写道：我想到了证明这个定理的一个绝妙方法，不过这里太窄写不下了。 写不下了！不带这么玩人的。这个问题由此整整三百年无人能解。 直到1958年，一个叫安德鲁·怀尔斯的男孩在英国出生。怀尔斯是一个典型的学者，内敛，不善交流，也不善于讲课。他就像我们曾经的陈景润一样，一连八年身居斗室之内，就为了解决费马大定理问题。 怀尔斯是在初中的时候第一次遇到费马大定理的，他瞬间就被这个如此简单的问题吸引住了——它是那么的普通，简洁，但居然绵延三百年之久无人问津——当n＞2时，Xn+Yn=Zn（n是幂，这里格式没法显示）没有整数解。 这个孩子居然作出了一个可能此前三百年没有数学家作出的假设——按照现代学术和教育体系水平，怀尔斯认为当时作为接触过数论的中学生的自己，所拥有的数学知识，应该已经超过了当年的费马，既然费马找到了证明方法，那么自己也完全有可能把这个题给解出来。怀尔斯的起点选择也非常之巧妙——他把自己解题思路放在所有尝试过费马大定理的杰出数学家们失败的案例上，看看他们是怎么尝试和怎么失败的。这就是一种直觉。 第一个绕不开的牛人，就是1707年出生于瑞士的莱昂哈德·欧拉。欧拉就是数学领域百科全书般的神人，他拥有惊人的记忆力和分析能力，几乎可以做到不用稿纸，一切都用心算。欧拉受到牛顿数学的影响，几乎都是从解决实际问题出发来发明创造数学方法——这与数学传统很不一样，因此，欧拉的精妙数学发明，都是为了解决一些看似不可能的问题而来的。我深深记得，当年在看超弦理论时，理论的构造者们冥思苦想构造理论的方程式会是什么样子，后来在翻阅数学史的时候，看到了欧拉方程，瞬间超弦理论的方程形式就出现了。 比如缠绕数学界和天文学界至今的“三体问题”，欧拉专注于解决此道，他发现，虽然精确解决这个问题貌似不可能，但在实际应用领域，你只需要有足够的精度就可以——比如能够在误差2-3海里的范围内定位不就可以了吗？因此有一个容错度的模糊解即可。欧拉的方法就是逼近，不断把同一个算法迭代，使得计算结果越来越接近——想想圆周率的几何学算法。 一件趣事是，欧拉当年应俄罗斯的叶卡捷琳娜二世邀请去讲课，法国哲学家狄德罗也在，不过叶卡捷琳娜不喜欢狄德罗的无神论思想，就问欧拉有没有办法驳倒狄德罗。欧拉就对狄德罗说，我可以给出一个关于上帝存在的代数学证明——狄德罗先生，因为（a+bn）/n=x，所以上帝存在。狄德罗不懂数学，于是就离开了。 |
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