仿佛来自虚空—代数几何上帝格罗滕迪克

123xyz123 2022-01-19

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“每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。”

——格罗滕迪克《收获与播种》

在数学群星璀璨的20世纪，格罗滕迪克也仍然是光芒耀眼的一颗巨星。拒绝领取数学最高奖菲尔兹奖和在创造的巅峰时期选择隐居，围绕在他身上的传奇故事很多。毫无疑问，格罗滕迪克是20世纪最具传奇色彩的数学家。事实上，从二十世纪中叶开始，在整个数学领域里不断加深的一般化和抽象化的潮流，在很大程度上归功于格罗滕迪克。正如他在长篇回忆录《收获与播种》中所说: “构成一个研究人员的创造力和想象力的品质的东西，正是他聆听事情内部声音能力”。今天格罗滕迪克自己的声音，蕴含在他的著作中，到达我们耳中，就如来自虚空。那么，这样一位数学巨星到底经历了怎样的一生？

早年生活

亚历山大—格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）（1928~2014）于1928年出生于柏林，由于父母的缘故，早年的生活可谓颠沛流离。根据后人的研究，格罗滕迪克的父亲或许名叫亚历山大—沙皮诺，出生于乌克兰的一个犹太人家庭，多次参加过反对沙皇政府的暴动，因此经常入狱，侥幸逃脱死刑判决后，他流亡于德国、比利时和法国等地，继续政治活动，从此成为无国籍人士，并且在此期间认识了格罗滕迪克的母亲汉卡—格洛腾迪克。在生下格罗滕迪克之前，他的父亲均各自有过一次婚姻，并且各自还带着一个孩子。1933年纳粹上台后，格罗滕迪克的父母逃亡法国，将儿子留在汉堡附近一个寄养家庭里面，这个寄养家庭的家长名叫威尔海姆—海铎。

从5岁开始，格罗滕迪克在海铎家里呆了5年多，并且开始上学。后来威尔海姆在回忆录里面说小亚历山大是一位非常自由，特别诚实，毫无顾忌的小孩。在他生活在海铎家这几年里，格罗腾迪克只从他母亲那里收到几封信，而他的父亲则杳无音信。到了1939年，残酷的战争已经迫在眉睫，海铎夫妇所承受的政治压力越来越大，他们无法再再继续抚养这些孩子了。而格罗腾迪克的情更加复杂些，因为他看上去就像一个犹太人。海铎写信给法国驻汉堡领事馆，设法给在巴黎的沙皮诺和在尼姆兹的汉卡带去消息。不久联系到他的父母之后，已经11岁的格洛腾迪克被送到了巴黎，与父母一起度过了战前的短暂欢乐时光，久违的亲情使得格罗滕迪克喜出望外。

但好景不长，格罗滕迪克的父母仍然热衷于参加政治活动。最终在1942年，沙皮诺被送往奥斯维辛，并在那里遭到无情杀害。而汉卡和格罗滕迪克则被送到了战俘收容所，而幸运地是，格罗滕迪克在这里居然被允许继续参加高中的学习。在此期间，他的母亲又被送往其他集中营，自己也要时刻小心纳粹的屠杀。关于这些痛苦的回忆，我们无心再更多的提及。

二战结束后，格罗滕迪克和母亲居住在蒙彼利尔郊外，他也开始在蒙彼利尔大学上学，母子二人靠着格罗滕迪克的奖学金和母亲打零工的微薄收入勉强维持生活。但不久之后，格罗滕迪克开始对课堂教学失去兴趣，因为老师总是在照本宣科。尽管少年时期格罗滕迪克的生活充满痛苦与混乱，但他却从很小的时候起就拥有强大的内在理解能力。在所有数学课上，他不需要老师的提示就能区分什么内容是正确与深层的，什么是表面或错误的。当有数学问题引起他的兴趣时，他就能完全忘我的投入到问题的研究中去，以至于废寝忘食。

南锡与泛函分析

“我的微积分老师舒拉先生向我保证说数学上最后一个问题已经在二三十年前就被一个叫勒贝格的人解决了。确切地说，他发展了一套测度和积分的理论（真是很令人惊讶的巧合！），而这就是数学的终点。”

——格罗滕迪克《收获与播种》

这段话所包含的故事可能为很多人熟知。格罗腾迪克在蒙彼利尔三年的大部分学习时间放在了弥补他曾经觉察到的高中数学教科书的缺陷上，给出了更加准确的长度、面积和体积的定义。实际上完全依靠自己的努力，他实际上重新发现了勒贝格测度论和勒贝格积分的概念。从这时候起，格罗滕迪克非凡的数学天才已经开始迸发巨大的能量。

1948年，格罗滕迪克靠着奖学金来到巴黎，他已经被大学数学教师舒拉推荐给自己曾经的老师，当时的大数学家嘉当，不过据格罗滕迪克自己回忆，到底是名满天下的老嘉当还是他的儿子小嘉当，他自己也不清楚。不久之后，格罗滕迪克获准参加巴黎高师的数学讨论班，他在这里见到了当时数学界的风云人物：克劳德－谢瓦莱(Claude Chevalley)，让－德尔萨(Jean Delsarte)，让－丢多涅(Jean Dieudonne)，洛朗－施瓦兹(Laurent Schwartz)和安德烈－韦伊(Andre Weil)等。

在讨论班上的格罗滕迪克更像个“外来人”，这不仅因为他说德语，而且因为他与其他参加者比较起来显得特别贫乏的数学教育背景。尽管格罗滕迪克拥有强大的数学天赋，但在大师云集的高师他仍然感觉吃力，于是在嘉当和韦伊的建议下，格罗滕迪克在第二年10月离开氛围“高雅”的巴黎而去了节奏稍微缓慢一些的南锡。另外，如丢多涅所说的一样，格罗腾迪克那时候对拓扑线性空间比对代数几何更感兴趣，因此让他去南锡再合适不过了。

丢多涅与施瓦兹此时正在南锡开设关于拓扑线性空间的讨论班,着重于研究Frechet空间及其正向极限。巴拿赫空间及其对偶空间的理论在当时已经相当成熟，但对局部凸空间的研究才刚刚兴起。丢多涅与施瓦兹在对局部凸空间及其对偶空间的研究中不断地遇到一些困难，恰巧已经名声在外的格罗滕迪克来到南锡，于是他们便将这些难题交给了格罗滕迪克。令人惊讶的是，不到一年，格罗滕迪克不仅已经通过巧妙的构造将这些难题全部解决，而且已经着手研究泛函分析的其他问题了。事实证明，格罗滕迪克在南锡对泛函分析的几年辛苦耕耘将影响深远。

1950年到1955年这几年当中，格罗滕迪克将全部精力放在了对泛函分析的研究上。当1953年格罗滕迪克将博士毕业时，他已经完成了六篇关于泛函分析的高水准论文，每一篇都能够作为他的博士论文，而最终选定的博士论文名为《拓扑张量积与核空间》，并且将之献与自己的母亲。泛函分析中核空间的概念也自此提出，其重要性正在于几乎所有非巴拿赫局部凸空间都是核空间，因此核空间的提出深刻影响了相关学科的发展。格罗滕迪克博士论文的发表被誉为战后泛函分析最重要的事件之一。除此之外，在泛函分析领域，格罗滕迪克的贡献还有格罗滕迪克不等式及其与绝对求和算子的关系等。丢多涅后来评价说，格罗滕迪克在泛函分析中的工作成就足以媲美这门学科的创始人巴拿赫，而与盖尔范德比起来也丝毫不逊色。但格罗滕迪克对泛函分析的研究更多地是使用代数和范畴论的方法，这与主流观点并不同，以至于多年之后这些方法和成果才显示出它的威力。如今我们一提到他，首先都会想到他对代数几何的开创性贡献，但他对泛函分析的贡献也绝不容忽视。

由于父母的缘故，格罗滕迪克直至当时仍然没有国籍（直到1980年法国政府才正式批准他入籍法国），因此无论他多么有才华，但依然无法在法国获得任何正式的教职席位，甚至有段时间他想过当木匠为生。热心的施瓦兹介绍他去巴西圣保罗大学做访问教授，这样格罗滕迪克即可以养活一家人，同时也可以有时间回法国和同行们交流。法国与巴西一直保持着数学界的密切交流，因此我们可以看到，巴西数学在当今也是十分活跃的。

同调代数与代数几何

但1955年之后，格罗滕迪克对泛函分析与拓扑线性空间的兴趣已经完全丧失了。按他自己的话说：“这个学科已经死了，没什么好研究的了”。虽然格罗滕迪克这样看法有些偏激，但足以说明，他对此已经彻底不感兴趣了。从这时起，他的兴趣转向了同调代数。格罗滕迪克的兴趣转移并不是空穴来风，小嘉当和艾伦伯格不久前阐释了同调代数在研究代数拓扑中显示的巨大潜力，这让格罗滕迪克很着迷。这一年，格罗滕迪克发展了阿贝尔范畴的公理化理论，相关结论成为了同调代数中的经典。

接下来，格罗滕迪克将目光转向了自己真正的舞台——代数几何。实际上，格罗滕迪克对代数几何的兴趣是在谢瓦莱和塞尔的影响下逐渐形成的。格罗滕迪克十分热衷于参加谢瓦莱在巴黎高师开设的代数群讨论班。同时，塞尔更是给予了格罗滕迪克直接的影响。塞尔拥有非常广博的代数几何知识，此时已经成为了格罗滕迪克相关知识无尽的源泉，后人甚至可以从二人的通信中学到比课本上更多更深刻的代数几何知识。

不久之后格罗滕迪克得到了一个经典结果：黎曼球上每一个全纯向量丛是线丛的直和。但实际上，这样的结果早已被诸如伯克霍夫、希尔伯特等数学家得到，只不过数学教育背景“贫乏”的格罗滕迪克并不知道，正如以前重新“发现”勒贝格测度论一样。尽管如此，格罗滕迪克这样的成果还是开启了射影空间上向量丛的系统研究和分类。

从1956年到1970年这十多年内，格罗滕迪克再未离开过代数几何的研究。一开始，他将精力集中在将关于簇的“绝对”定理转化为关于态射的“相对”定理，这一时期最重要的成就当属对于“黎曼—罗赫”定理的推广，也就是它的“相对”定理。希策布鲁赫曾对经典的“黎曼—罗赫”定理有过重大改进，数学界曾一度认为这已经是盖棺定论。但格罗滕迪克却不这么认为，“不，黎曼—罗赫定理不是一个关于簇的定理，而是一个关于簇间态射的定理”，他非常肯定地得出了他的结论。这是一个根本性的新观点，整个定理的陈述彻底改变了。波莱尔评价说：“这真的很符合范畴论和函子的精神，不过人们从没有想过在如此困难的论题上使用它。单单这个陈述本身就已经领先别的任何人10年时间。”曾经格罗滕迪克将这样的精神引进了泛函分析，而如今，他又将其带到新的领域，并再次发扬光大。

取得这样光辉的成就之后，1958年格罗滕迪克受邀前往在爱丁堡举办的国际数学家大会上作报告。在大会上，他拟定了一个在正特征域上定义同调论的纲领，它将有可能导致韦伊猜想的证明，而韦伊猜想短语在有限域上代数簇的算术和复数域上代数簇的拓扑之间存在深刻的联系。此时的韦伊猜想已经吸引了大量顶级数学家研究，包括韦伊，格罗滕迪克外和塞尔等。

与此同时，格罗滕迪克也是代数K—理论的创始人之一。K—理论在数学中有很多非凡的作用，例如非常著名的阿蒂亚—辛格指标定理便是其影响下的产物之一。

“在IHES（高等科学研究所）的英雄岁月里，丢多涅和我是所里仅有的成员，也是仅有的可以给它带来信誉和科学世界听众的人……我觉得自己和丢多涅一起，有点象是我任职的这个研究所的“科学”共同创始人，而且我期望在那里结束我的岁月！我最终将强烈地认同IHES。”

——格罗滕迪克《收获与播种》

1959年，格罗滕迪克受邀到巴黎近郊的高等科学研究所工作，接下来的10年，这里将成为代数几何的中心。这一时期内，韦伊猜想的证明成为了格罗滕迪克工作的主要动力，而“概型”作为代数几何新的语言正是在这一时期得以确立。

简单来说，概型是代数簇的一个推广。给定一组素特征有限域，一个概型就可以产生一组代数簇，而每一个都有它自己与众不同的几何结构。而概型可以让我们在一个统一方法下，研究一个代数簇所有不同的“化身”。迈克—阿廷评论说，“这太激进了。没有人有勇气哪怕去想象这个方法的可行性，真的太出色了。”

而他另一大开创性贡献便是提出“拓扑斯（topos）”的概念。如格洛腾迪克自己所言，拓扑斯是“空间概念的变体”。拓扑斯可以描述为这样一个范畴，它尽管无需起因于普通空间，然而却具有所有层范畴的“好”的性质。对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不是它的'点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等，而是空间上的层和层构成的范畴。

从技巧层面来说，格罗滕迪克在数学上的大多工作集中在发展所缺乏的上同调理论。平展上同调（Etale cohomology）就是这样一种理论，由格罗腾迪克与迈克—阿廷等人所发展，其明确意图就是证明韦伊猜想，而它确实是推动最终证明的主要因素之一。但实际上格罗腾迪克走得更远，他还发展了motive的概念，他将此描述为“终极上同调不变量”，所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。遗憾的是，格罗滕迪克最终没有完成韦伊猜想的彻底证明，然而他却是这一领域内的伟大引路人，指引着他的学生德利涅最终实现了这一创举。

在IHES的岁月里，格罗腾迪克对数学的贡献是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及对自身观点的顽强坚持，产生了数学思维的巨浪，将很多人卷入到它的奔涌激流中。

荣誉与遗产

1966年，因为对泛函分析，黎曼—罗赫定理以及概型理论的贡献而荣获数学最高奖菲尔兹奖。但为了表达对苏联政府的抗议，他拒绝了领奖。或许正是因为自己青年时期饱受战争伤害，格罗滕迪克对战争异常痛恨。1970年，当他发现IHES的经费部分来自军方时，不久之后便愤然辞职，对数学的兴趣也越来越淡薄，在他看来，数学界已经失去了道德。之后的几年，格罗滕迪克致力于保护环境的运动，80年代又开始在蒙彼利尔从事了几年的数学活动。而后来就干脆选择了隐居，从人们的视线中消失，以至于多年之中，外界甚至不清楚他的生死。

受布尔巴基学派的影响和在丢多涅的帮助下，格罗滕迪克完成了代数几何巨著《代数几何原理》（Elements de Geometrie Algebrique，简称EGA，计划写十三卷，最终完成四卷），而他在讨论班上的一系列讲稿也汇聚成了Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie，简称SGA。他也在巴黎布尔巴基讨论班上介绍了很多结果，它们被合集为FGA，即Fondements de la Geometrie Algebrique。EGA，SGA与FGA加起来将近7500页，这些宝贵的财富构建起了现代代数几何的框架，并且滋养出了一大批后来者。而如今我们也有幸通过格罗滕迪克的自传《收获与播种：一个数学家过去的回顾和证词（Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passé de mathematicien）》来探寻他不平凡的一生以及他的内心世界。然而遗憾的是，由于篇幅巨大，翻译起来费力不讨好，《收获与播种》甚至没有完整的英文译本，更没有正式的中文版，这不得不说是巨大的遗憾，但我们都非常期待着这一天。