上海中考数学真题，一道推陈出新的几何题，值得研究

这是上海市2021年中考数学的一道真题，出题人推陈出新，创作了一道有意思的几何题。如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或AD于点E。

（1）当点E在CD上时，①，求证△DAC∽△OBC ②若BE⊥CD，求AD/BC的值

（2）若DE=2，OE=3，求CD的长。

分析：上海市的这道中考数学题不落俗套，综合性很强，第一小问就考到了一个重要的知识点：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。

∵O是AC的中点，∠ABC=90°

∴OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

∵AD//BC，AD=CD

∴∠DAC=∠ACB=∠ADC=∠OBC

∴△DAC∽△OBC

这种递进式的多个小问题，第一问肯定会作为后续问题解答的基础。

由第一问知道，∠ECB是∠EBC的两倍，现在BE⊥CD，

所以∠EBC=30°，∠ECB=60°，

在直角三角形BEC中，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图，

设FC=x，则DC=2x=AD，BC=BF+FC=2x+x=3x

所以AD/BC=2/3。

第三问：由题干可知，点E可能在CD上，也可能在AD上，所以要分两种情况讨论。

当点E在CD上时，设 CD=AD=x，则CE=x-2，

由第一问可知，∠OCE=∠EBC，

所以△EOC∽△EBC（还有一个公共角），

所以OE/EC=EC/BE=OC/BC =3/x-2，

BE=(x-2)^2/3，BO=BE-OE=(x^2-4x+5)/3,

由第一问的△DAC∽△OBC，

所以AD/BO=AC/BC=x/BO=2BO/BC，

带入数据，解得x=3+√19；

当点E在AD上时，同样解得x=1+√19

所以CD=1+√19或3+√19。

小结：本题的综合性强，整体难度在中考题中是比较大的。特别是第三问，要分情况分别计算，很容易令人犯晕。