2021 全国高中数学联赛（A卷）加试第二题详解

引言

问题

如图所示，在中，是边的中点，是的外接圆在点处的切线上两点，满足，且是线段的中点，过三点的圆与边相交于另一点，过三点的圆与的延长线相交于点

证明：

分析

本题的关键在于通过各种相似形来找出线段长度之间的关系，其中最重要也是最不容易确定的是点的位置。从最开始分析这些点的位置，是任意的三角形，是边的中点非常好确定。处的切线实际上是构造了几个相等的角。

点的构造实际上创造了一对相似三角形：

点的构造实际上创造了一对相似三角形：

点的构造实际上创造了一对相似三角形：

从而利用相似三角形对应边的比例，本题迎刃而解。

解答

证明：如下图所示，延长交于，连接

由于是的切线，并且，那么

又有

从而我们有如下的相似三角形，

由此，我们注意到

又由于

从而有相似

所以有

从而，由此导出一对相似三角形

从而

证毕！

点评

本题看似复杂，其实仅仅只涉及到相似三角形以及少量圆的性质，难度偏低，仅仅略难于第一题。我用了一个小时左右才解决此题，主要卡在点的位置上，而忽视了最重要的一对相似形一旦注意到了这一点，此题便迎刃而解。