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相似三角形是中考数学中的必考知识点之一，而相似三角形中的母子相似又是我们最常见的相似类型。在三角形（尤其是直角三角形）、四边形、圆等相关题目中，经常可见母子相似型的三角形，因此，其基础性与重要性可见一斑，我们必须学会灵活应用。 一、基本原理 1、基本定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2、判定方法： （1）两角分别相等的两个三角形相似； （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 二、母子相似三角形基本图形  初中数学 三、母子相似三角形在不同几何图形中的应用 3.1、普通三角形中的母子相似 例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB =∠ABC。 求证：（1）DB2 =DE·DA ;（2）∠DCE =∠DAC  证明：（1）∵∠DEB =∠ABC ∠BDE=∠BDE ∴△BDE ∽△ADB ∴BD/AD = DE/DB ∴DB2 =DE·DA （2）∵AD是中线 ∴CD = BD ∴CD2 =DE·DA 又∵∠ADC=∠CDE ∴△DCE ∽ △DAC ∴∠DCE =∠DAC 3.2、直角三角形中的母子相似 例2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C = 90º，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：（1）△AME ∽△NMD ；（2）ND2=NC·NB  证明：（1）∵AD是Rt△ABC中∠A的平分线， ∴∠1 = ∠2 ∵∠C = 90º ，EF是AD的垂直平分线 ∴∠1+∠ADC = ∠4+∠ADC = 90º,∠3 = ∠4 ∴∠1 = ∠4 = ∠2 又∵∠AM E= ∠NMD ∴△AME ∽△NMD （2）∵EF是AD的垂直平分线 ∴ND = NA ∵∠C = 90º ，EF是AD的垂直平分线 ∴∠7+∠3+∠4 = ∠B+∠1+∠2 又由（1）知∠1 = ∠4 = ∠2 = ∠3 ∴∠7 = ∠B 又∵∠ANC = ∠ANC ∴△ANC∽△BNA ∴AN/BN = NC/NA ∴NA2=NC·NB 又ND = NA ∴ND2=NC·NB 3.3、四边形中的母子相似 例3、如图，F、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC的点，且BF = BQ ，BH⊥PC于H，求证：QH⊥DH。   例4、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG. (1)求证：四边形EFDG是菱形； (2)求证：EG2=GF·AF/2；  证明：（1）由折叠的原理， △ADF≌△AEF ∴DF=EF，DG=EG，∠AFD=∠AFE； ∵GE//CD；∴∠EGF=∠AFD； ∴∠EGF=∠AFE； ∴EG=EF； ∴DF=EF=DG=EG；即四边形EFDG是菱形。 （2）在Rt△DOF和Rt△ADF中，∠DFO=∠AFD， ∴Rt△DOF∽Rt△ADF； ∴ AF:DF=DF:OF； ∴DF^2= OF·AF； 又OG=OF=GF/2，OD⊥GF； ∴EG^2=GF·AF/2.  3.4、圆中的母子相似  |
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