题目难度:★★ 适合:小学 出处:华罗庚金杯小学数学竞赛题真题 关键字:推广 组合 华罗庚金杯 奥数 小学 题目:有一种剧毒药水,小白鼠喝一点后一小时死亡。现有7瓶药水,确定只有1杯有剧毒,现在有3只小白鼠,是否能设计一种方法花一小时时间在这7瓶药水中找出毒药水。 题解:如果不是7瓶,而是8瓶药水,也可以设计一种方法找出毒药水。 用A、B、C表示三只老鼠,老鼠编号为1-8,如果老鼠喝某编号的水用√表示,不喝用×表示 如上图: 第1列表示,ABC三只老鼠都不喝1号瓶的水,如果最终没有出现老鼠死亡,那1号瓶的肯定是毒药水。 第6列表示,A、C喝6号水瓶的水,B不喝6号水瓶的水,如果A、C死亡,B不死亡,则确定6号水瓶是毒药水。 那么每一中老鼠死亡的组合就能判定一杯水是否有毒,所有三只老师最多能判定8(2^3)瓶水。推广:每只老鼠的状态有2种,生或死,那么N只老鼠的死亡组合为:2*2*……*2,最多能判定2^N瓶水。 也可以这样算:0只老鼠死C(N,0),1只老鼠死C(N,1),2只老鼠死C(N,2)……,N只老鼠死C(N,N)。那么N只老鼠的死亡组合为:C(N,0)+C(N,1)+C(N,2)+……+C(N,N) 即有组合公式 C(N,0)+C(N,1)+C(N,2)+……+C(N,N)=2^N |
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