【原】复变函数 第一章：1.1解析函数

目录

Contens

1.1:解析函数

1.1.1:从实函数角度研究复函数的微分结构

1.1.2:从复函数角度研究复函数的微分结构

1.1.3: 实函数和复函数之间的联系:Cauchy-Riemann方程

1.1.4: 调和函数引入

参考资料：

解析函数

上一章中我们研究了复数的基本性质，以及其拓扑结构，由于复平面的拓扑结构和二维实平面的拓扑结构相同，因此在函数的极限、连续性方面和二元实函数几乎没有区别.但是由于复数可以做除法，因此复函数在微分结构上和二元实函数有很大的差别.我们会在本章中研究最简单的的内容，在第二、三章中学习了研究复变函数的方法之后，再精细的研究复变函数.

1.解析函数

1.1.1：从实函数角度研究复函数的微分结构

设,因此对任何一个复函数而言，我们可以将其写作是二元函数的形式：

因此我们可以按照研究实函数的方式来研究复变函数.

由于：, 得 , 因此

将其带入可得:

因此我们也可以用复变量来表示函数的微分，此时我们引入两个常用的偏微分算子：

所以：

这样看起来似乎就是关于和的函数，虽然和之间并不是独立的.但是下边一个定理告诉我们，在求导时我们确实可以将其看作是两个独立的变量.

设 , 求 和 .

十分容易求得：

不难验证，他们还满足下边的性质：

1.1.2 从复函数角度研究复变函数的微分结构

上边的研究并没有什么兴趣，因为他们和二元实函数没有任何区别，我们更关心从复的角度去研究复变函数的微分结构.类似在实函数中一元函数可导或者可微的定义我们这样定义复变函数的可导性：

类似于一元函数的可导的等价定义，我们可以得到复变函数的可导的等价定义：

显然：

反之不成立，我们可以找到一个连续但处处不可微的函数，这在实函数中我们是很难做到的，魏尔斯特拉斯花了很久的时间才用级数构造出了第一个例子.

函数 在 中处处不可微.(不加证明.)

一般来说但凡出现了这样的函数都会不可微(后边我们会看到这个原因.)

同实函数一样，复变函数的求导也是满足四则运算和复合运算的法则的：

Exe：复数形式的洛必达法则.: 和 都在 处可微, 且 . 证明:

Exe：设域 和域 关于实轴对称. 证明: 如果 是 上的全纯函数, 那么 是 上的全纯函数.

注意到这里域关于实轴对称的条件不能缺少，因为和必须在中.

1.1.3:实函数和复函数之间的联系:Cauchy-Riemann方程

如果只是单纯的向上边一样从实函数和复函数两个角度建立各自的微分理论，那样将带来很多麻烦，很多术语将会滥用且代表不同的含义，因此我们必须建立复函数和实函数之间的关系.下边我们来探讨这种关系.

现在我们从实变函数的角度出发：设.我们知道的极限趋近方式是多种多样的，就如同一样，最特殊的就是,以及这两种方式，现在我们来演算一下，看看会带来什么结果.

当 时, 有

而当 时, 有

但是上述的条件只是必要的而非充分的，详情请看下边的反例：

Exe：函数 在 满足定理上述定理中的条 件, 但在 不可微.(同理这里不给证明，实在是因为这个很容易.)

下边我们来探讨复可微的充分条件.我们知道多元函数的偏导数存在是不能够推出函数是可微的，但是只要加上偏导数是来连续的，那么就可以推出可微是存在的.

必要性：必要性的证明只需要证明函数的可微性即可.

比较上式的实部和虚部, 得到 和 在 处可微.至于方程，我们已经证明过了.

充分性：充分性的证明完全是数学分析的定义展开，可以参见任何一本复变函数的书籍，这里不再赘述.

前边我们曾经用复变量表示过函数的微分，现在我们来用他们表示函数的可微性.由于：

因此我们可以得到另一个必要条件：

1.1.4：调和函数引入

练习题：设 都是区域 上 的函数,证明: 如果函 数 在 上解析, 则 在 上解析.

由于 在 上解析, 因此 , 并且 满 足 C-R 方程 :

利用此以及 为区域 上 的函数得

可见, 的实部和虚部满足 C-R 方程. 所以 解析.

在上边这个题中我们可以得到：

这并不是偶然，(事实上，任何一个解析函数的实部和虚部都有这样的结论.}我们会在后边证明这件事情.)

当然我们也可以用复数的形式表示Laplace算子：

image

所以

这个结论是很容易证明的.

总结一下，我们知道如果是区域且,且,那么都是调和函数，且是满足方程的.

注意到这个说法，我们称是的共轭调和函数，这个顺序是不可颠倒的.

现在考虑反问题，如果有了一个调和函数,是否存在一个的共轭调和函数,是的是调和函数.如果区域是单连通区域那么结果上述说法是成立的，但是如果区域不是单连通该结果不一定正确，稍后我们可以举出反例.

思考：如何求共轭调和函数?想一想如果存在.那么就满足方程，显然.我们可以通过积分的方式来求.

因为.所以我们希望两边积分来得到.因为函数调和，我们记.易得：

是一个全微分方程。所以：

所以：

就是的表达式，验证一下就可以知道其满足C-R方程，显然可以看到偏导是都是连续.因此我们就可以得到：是调和的.且我们知道这样的至多差一个常数.上边我们只是给了的表达式，但是只要给出了我们就可以求出.积分选择从.由于单连通因此积分与路径无关，所以这样的定义是确切且正确的.