动点问题？旋转问题？轨迹问题？瓜豆原理？构造手拉手？几何最值？极端化思想？

——从一道压轴小题看几何最值之“点线距离”

王  桥

   近日，一位网友问到一道小题：

    例、如图，已知正方形ABCD中，AB=4，BE=1，点F为BC上一动点，把线段FE绕着点F逆时针旋转90°得到线段FG，求AG的最小值。

这道压轴小题，如果没有一定的策略，对于同学们来说，解决起来确实还是有一定的难度的。那么，突破口究竟在哪里呢？

对于一道题目，读完题目，首先是给这道题目“贴标签”！

从题目中的条件和所求提炼出来的信息，结合我们掌握的数学知识和解题策略进行一一比对。我们不妨给这道题目贴上如下标签：

1、动点问题；

2、旋转问题；

3、轨迹问题；

4、几何最值；

5、瓜豆原理；

6、极端化思想；

7、构造手拉手......

这个贴标签的过程，就是综合动用题目中的已知条件和所求结论，以及我们曾经掌握的分析问题及解决问题的方法和策略，并进行有效组合的过程。

题目中的A、B、C、D、E均为定点，点F和点G为动点，所以我们首先贴上第一个标签——“动点问题”！（是哪一类动点问题？如何解决动点问题？你有策略吗？——详见《冲刺十招》第9讲“搞定动态问题”）。

继而把“线段EF绕着点F顺时针旋转90°得到线段FG”，所以我们可以贴上第二个标签“旋转问题”！（如何解决旋转问题？解决旋转问题有什么策略？——详见详见《冲刺十招》第9讲“搞定动态问题”）。

解决“动态问题”的基本策略是“化动为静”！请注意这个“90°”，容易想到△EFG是等腰直角三角形！——形状是确定的！

从题目中“求AG的最小值”，我们可以贴标签“几何最值问题”（关于几何最值，详见《春季攻势》第17讲“几何最值”）。但是是属于哪一类几何最值问题呢？

观察到线段AG中，点A为定点，点G为动点，只需确定点G的轨迹即可。显然，可以给这道题目再贴上标签“轨迹问题”！若点G的轨迹是直线型，则可运用“点线距离”最值模型（详见《春季攻势》第17讲“几何最值”之“【考点3】点线距离——垂线段最短”）；若点G的轨迹是圆弧形，则可运用“点圆距离”最值模型（详见《春季攻势》第17讲“几何最值”之“【考点3】点圆距离——一箭穿心”）。

那么，点G的轨迹是什么呢？结合前面分析出来的确定形状的等腰Rt△EFG的特点，其中点E为定点，点F为主动点，点G为从动点——这不是符合“定比定角”的瓜豆原理吗？——再次贴上标签“瓜豆原理”！

主动点F的轨迹是直线型，则从动点G的轨迹也必为直线型，则必属于几何最值之“点线距离”！（关于轨迹问题和瓜豆原理，详见《老王的数学》公众号相关文章）。至此，问题基本可以解决。

但是，动点G在什么样的直线上运动呢？也就是说，点G的轨迹形状已经确定，但是其位置怎么确定呢？

这个时候，就要运用“构造手拉手”策略和“极端化思想”。

构造“手拉手”有点让人不太好直接凭空想象得到（详见《冲刺十招》第2讲“无中生有话构造”及《老王的数学》相关文章）。但是，若运用“极端化思想”，则构造“手拉手”策略也呼之欲出！

既然动点E是BC上一动点，我们不妨先从点E的几个特殊位置出发，来判断点G的位置。

特殊位置1：如图，当动点F和B重合时，则点G在BC上。此时EB（F）=B（F）G=1.

特殊位置2：如图，当动点F运动到BF=3，FC=1时，点G恰好落在CD上，此时FB=CG=AE=3，EB=FC=GD=1。

两点确定一条直线，则点G的轨迹确定：如图，作BG₁=DG₂=1，连接G₁G₂，则点G的轨迹是G₁G₂所在直线。

当然，更加规范的解法，应该如下：

如图，G为正方形内任意一点时，在BC上截取BG₁=1，连接EG₁，G₁G，EG，易证明△EBG₁∽△EFG（相当于构造了一对“手拉手”相似三角形——关于“手拉手”，详见《春季攻势》第11讲“一线三等角和手拉手”），则进而可证明△EBF∽△EG₁G，则∠EG₁G=∠B=90°，则G₁G⊥EG₁。∵∠EG₁B=45°，则∠GG1C=45°。由于点G为任意点，即点G必在等腰直角△G₁CG₂的斜边上。计算同上。

这道题，主要考察的不是计算，而是数学思想方法和策略！

解决一道中考压轴题，需要动用的数学知识以及数学思想方法和策略是非常多的。挑战中考压轴题系列培优资料《沙场秋点兵》、《春季攻势》和《冲刺十招》既单独成册，分别配合秋季培优、一轮培优、二轮培优；合起来又是一个完整的培优系统。精选压轴好题，提炼做题策略，注重思想方法的引导，既注重知识系统的构建，又注重方法系统的构建，一直是老王所倡导的。

解决了这道题目，咱们《春季攻势》第17讲几何最值【考点3】点线距离——垂线段最短”的这几道题，不妨大家再有针对性的练练！