【原】初中几何平行线基本模型6：“平行线+角平分线”模型

模型5：“平行线+角平分线”模型

条件：AB∥CD,CE平分∠ACD.

结论：AC=AE(∆ACE为等腰三角形).

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动态几何验证

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推理证明

已知：AB∥CD,CE平分∠ACD.

求证：AC=AE.

证明：

如上图，

∵AB∥CD，

∴∠AEC=∠ECD.(两直线平行，内错角相等)

∵CE平分∠ACD,

∴∠ACE=∠ECD,

∴∠ACE=∠AEC,(等量代换)

∴AC=AE.(等角对等边)

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逆向思维：

探究1：已知CE平分∠ACD,AC=AE.AB∥CD是否成立

证明：如上图，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ECD.

∵AC=AE,(已知)

∴∠ACE=∠AEC,(等腰对等角)

∴∠AEC=∠ECD,(等量代换)

∴AB∥CD.

探究2：已知AB∥CD,AC=AE.CE平分∠ACD是否成立.

证明：如上图，

∵AB∥CD，(已知)

∴∠AEC=∠ECD.(两直线平行，内错角相等)

∵AC=AE,(已知)

∴∠ACE=∠AEC,(等腰对等角)

∴∠ACE=∠ECD,(等量代换)

∴CE平分∠ACD.

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归纳总结

文字语言：

平行线、角平分线以及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个.（简称：“知二求一”.在以后还会遇到很多类似总结）

符号语言：

AB∥CD,CE平分∠ACD⇒AC=AE;

AB∥CD,AC=AE⇒CE平分∠ACD;

AC=AE,CE平分∠ACD⇒AB∥CD.

提示：此模型图应牢固掌握，“知二求一”应熟练推导过程.

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拓展：平行四边形翻折模型

翻折(即对称)，翻折对称得全等，在平行四边形翻折过程中常常会有等腰出现.

条件：▱ABCD，沿着BD翻折，C与C'对应点，交AD于点E.

结论：BE=DE.(∆BED为等腰三角形)

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推理证明

分析：利用翻折对称现全等，可知角平分线；其次通过本节平行线与角平分线模型即可得出要证结论。

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总结

平行四边形翻折常出现等腰三角形。

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭