卡方分布概率密度公式的简单方法推导

先看看球坐标：

扩大到n维球体，因为球坐标中只有一个r,其它都是角度，所以其体积元为：

图1

这个多维求坐标不必多想，就是图1中这个意思就行了。

再考虑卡方分布：

其分布函数为：

注意，这里的x还是标准正态分布，因为并没有进行什么变换。

再进行n维球坐标变换：

因为r与其它参数无关，所以可以把r的积分与其它参数的积分分离开来，其它参数积分的结果用大写的Ck表示，得到：

图a

再假设h(r)与H(r)之间为原函数与求导的关系：

其中H(0)为0，得到

这里y的指数出现了k/2，这个k也就是卡方分布里面变量的个数，它对应着球坐标中的维数

图1

因为概率密度之和为1，所以

因此Ck可以倍求出来

最后将Ck代入图1，就得到了卡方分布的概率密度。

这种方法和前面那些方法对比，似乎更简洁一些。

这种方法似乎也可以解释一点卡方分布和伽马函数（阶乘）的关系，因为随着卡方函数中变量的增加，图a的积分号中出现了r的k次方，而这是一种连乘的关系，和阶乘有着某种相似之处。不知道这种解释能不能说得通？