服从高斯分布的随机生成器

完成Box-Muller Transformation的证明

在这之前，我们首先引出Inverse transform sampling定理（中文可能是反变换定理，反变换法吧。）

定义：假设u=F(x)是一个连续累计分布函数（也就是一个密度函数的积分）， F^-1为其反函数。 

定理：如果U是一个均匀分布(0,1)的随机变量的话，则F^-1（U）服从函数F给出的分布。

证明：

这样就导出一个方法：

输入：一组[0,1]之间的满足均匀分布的随机数U

任务：给定一个分布的密度函数f(x)，要生成满足这一分布的一组随机数。

输出：一组满足f(x)的随机数V

方法：1）求f(x)的分布函数F(x)

        2）求F(x)的反函数F'(x)

        3）对于U中的每一个元素u，将F'(u)加入序列V中。

 

据此，我们发现

只要求出正态分布的密度函数的分布函数的反函数，然后直接代入服从均匀分布的随机数，

所得的结果即为服从正态分布的随机数了！

接下来如何导出正态分布pdf(probabilistic distribution function概率密度函数)的分布函数的反函数呢?（太拗口了。。。）

我们都非常熟悉了正态分布的pdf，但是其分布函数（也就是从0-x的积分）据我所知很难搞定。

< 如果是无穷积分的话还有可能搞出来（用个平方和的技巧） >

其实，我们这里使用和这个平方和技巧相同的方法。进行变形，就可以神奇的得到BoxMuller了～

 

过程如下：

使用两个正态分布的概率密度函数

以及

用上述的化为极坐标的技巧，

将x=rcos(theta), y=rsin(theta)

这样可以得到极坐标上的两个正交的服从正态分布的变量

概率为

具体步骤不再详述，利用了Jacobian行列式，然后就直接得到这个结果啦。

 

接下来根据上述的方法1）2)3)

步骤1） 首先对其分别积分，得到分布函数

以及

步骤2）

求上述函数的反函数

据此，我们其实已经证明了Marsaglia polar method方法。所以这个才叫做polar法～

步骤3）

代入服从均匀分布的随机数，得到

因为服从均匀分布(0,1),所以可以将

终于，我们对Box-Muller Transformation证明完毕。