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角的8字模型 此模型因外形像数字8，故名为"8字"模型.初中几何8字模型是几何题中最常见的的模型之一，常用于推导角、边之间的关系以及证明三角形相似.
结论：∠A+∠D=∠B+∠C. 动态几何验证
证法一： 如上图， ∵∠AOB是△AOD、△BOC的外角， ∴∠AOB=∠A+∠D， ∠AOB=∠B+∠C. ∴∠A+∠D=∠B+∠C. 证法二： 如上图， ∵∠A+∠D+∠AOD=180°，(三角形内角和为180°) ∴∠A+∠D=180°-∠AOD. ∵∠B+∠C+∠BOC=180°,(三角形内角和为180°) ∴∠B+∠C=180°-∠BOC. ∵∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D=∠B+∠C. 典例分析 观察下列图形并写出答案 (1)如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________; (2)如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________;
解析： (1)解法一：利用角的8字模型.
如图③，连接CD. ∵∠BFC是△BEF的外角， ∴∠B+∠E=∠BFC. ∵∠BFC是△CFD的外角， ∴∠FCD+∠FDC=∠BFC. ∴∠B+∠E=∠FCD+∠FDC. ∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E =∠A+∠ACE+∠ADB+∠FCD+∠FDC =∠A+∠ACD+∠ADC =180°. 解法二：如图④，利用三角形外角和定理.
∵∠BFG是△FCE的外角， ∴∠BFG=∠C+∠E. ∵∠BGF是△AGD的外角， ∴∠BGF=∠A+∠D. ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠A+∠BFG+∠BGF =180°. (2)解法一：如图⑤，利用角的8字模型.
∵∠AOP是△AOB的外角， ∴∠A+∠B=∠AOP. ∵∠AOP是△OPQ的外角， ∴∠OPQ+∠OQP=∠AOP. ∴∠A+∠B=∠OPQ+∠OQP.① 同理：∠C+∠D=∠OPQ+∠POQ.② ∠E+∠F=∠POQ+∠OQP.③ 联立①+②+③得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =2(∠OPQ+∠OQP+∠POQ) =360°. 解法二：利用角的8字模型
如图⑥，连接DE. ∵∠AGE是△AGB的外角， ∴∠A+∠B=∠AOE. ∵∠AGE是△GED的外角， ∴∠GED+∠GDF=∠AGE. ∴∠A+∠B=∠GED+∠GDF. ∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F =∠GED+∠GDF+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F =360°. 模型演练 1.(1)如图①，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠BEC=__________; (2)如图②，求∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠BEC=_________.
2.如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=____________;
提前引入：共圆8字模型（后期重点补充）
条件：当∠DAC=∠DBC（同侧一组角相等）. 结论：∠D=∠C (A,B,C,D四点共圆)； ΔAED∼ΔBEC (上下相似)； ΔAEB∼ΔDEC；(左右相似). 总结：8字模型同侧一组角相等⇒另一侧也相等（后续证明：利用圆或三角形相似） 共圆+平行的“8字”模型=等腰梯形
条件：A,B,C,D四点共圆，AD∥BC. 结论：四边形ABCD为等腰梯形（圆中的平行线所夹的弧相等）. 总结：等腰梯形四点共圆，连接对角线可构造“8字”模型，“上下相似”（ΔAED∼ΔBEC）、“左右全等”（ ΔAEB≅ΔDEC）.
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