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题目：如图，已知 AD 是⊙O 的直径，D 是 BC 中点，AB 、AC 交⊙O 于点 E 、F ，EM 、FM是⊙O 的切线， EM 、 FM 相交于点 M ，连接 DM . 求证： DM ⊥BC.  如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。 解法一： 观察图形、已知条件和结论，第一印象就是DM垂直平分BC，构成了一个对称图形的框架。连接MB,MC，如果能证明MB=MC，则结论成立。但难以构建以MB,MC为边的全等形，所以考虑在D点两侧寻找新的对称点。 注意到 所以取BD中点I,CD中点J，连接MI,MJ，有了EI=JI,MI=MI，只要能证明夹角相等，就大功告成了。  切线ME和直径AD构成了三个直角： 所以左边三个绿色小角相等，同理，右边三个粉色小角相等。 而我们要证明的
在圆内接四边形AEDF中，
所以 已知条件和结论会师。 解法二： 观察已知条件的特征，思考如何把这些分散的条件凑到一起，相互和谐。 一个观察点是E,F是切点，那么ME=MF,MD为公共边，当然，三角形EDM和FDM明显不全等，以不相似，那么如果合理地转化这两对相等线段，让它们发挥作用呢？一个尝试的方向是用相似作等量代换。 如果能分别找到三角形EDM和FDM的相似三角形，那么这两个三角形也应该有两条对应边分别相等。 再看已知条件里还有DB=DC,意味着如果我们把BC上下平移的话，平行线被AB,AD,AC截出来的两条线段是相等的。如果把平行线移到过圆心O的位置，那么还有半径相等的线段，很可能构成一对满足相似条件的三角形。  如上图，把BC平移到过圆心O的位置，得到IO=JO,连接OE,OF后，OE=OF， 注意到 所以大胆猜想两个红色三角形和两个绿色三角形分别相似。 这时候可以把结论也放进来了。如果DM垂直于BC，那么角IOE和角DME的两边分别垂直，两角相等，说明相似成立。 至此，已知条件和结论推论已经统一在一起了，但还不能称为会师。 因为从 所以，需要稍微变更一下辅助线的做法，变成过O作IJ⊥DM，由此顺利得到两对三角形相似，等量代换后得到IO=JO，由BD=CD反过来证明IJ//BC，最后得到BC⊥DM. 总结：垂直与对称的关系紧密，而对称又和全等三角形有很强的关系，这一思路在解题中常见。切线和直径在一起的图形中，有许多角的等量关系，相似三角形以及线段成比例关系，要能娴熟运用。 解法二的证法和上题的解法二有很类似的地方，需要对相似三角形的对应边成比例、等量代换有熟练的运用。 你做对了吗？如果你有更好的方法，欢迎分享。 【卡拉数学】长期分享数学趣题、解题技巧，致力于数学科普和拓展数学思维，每日定更，觉得内容有兴趣的可以长期关注哦！ |
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