平行弦[圆内有特殊位置关系的两条弦]

平行弦一般指圆内有特殊位置关系的两条弦，指圆中的两条平行弦，它们所夹的弧相等，反之，在同圆中，若两弦所夹的圆弧相等，则此两弦为平行弦，或者说连结圆中二等弧端点的不相交的弦是平行弦。

例：求半径为R的圆内平行弦长度L关于它与平行直径距离的平均值。

图1

解：取圆心为坐标原点，垂直于平行弦的直线为x轴，建立直角坐标系如图1所示，则圆周的方程为：

根据对称性，我们可以只考虑右半圆，即

的情况，

，对应于该点的弦AB之长为

所以其平均值为

注：对于求具体函数在具体区间上的平均值问题，由于函数明确、区间也明确，所以应该是没有什么歧见的。

但是对于求解此类应用题时，我们一定要搞清楚什么是自变量，这样也就能够正确地确定出所在区间以及函数关系，否则结论将会大相径庭。

例如，我们同样求半径为R的圆内平行弦长度L的平均值，但是若求的是关于它对圆心张角θ的平均值，则由于(也只考虑右半圆)

所以其平均值为

二次曲线

定理：二次曲线的平行弦中点在同一条直线上。

定义：二次曲线的一组平行弦中点所在的直线，叫做这条二次曲线的共轭于这组平行弦的直径(也叫这组平行弦的共轭直径)，简称二次曲线的直径。而这组平行弦，叫做这条直径的共轭弦。平行弦的方向，叫做与其共轭的直径的共轭方向。

显然，二次曲线的直径平分它的一组共轭弦。

(1)椭园的平行弦中点的轨迹是椭园的一条直径(所谓椭园的直径，指椭园的过中心的弦)。

(2)双曲线的平行弦中点的轨迹，或是过中心的直线；或是过中心的直线上两条关于中心对称的射线。

(3)抛物线的平行弦中点的轨迹，是平行于抛物线对称轴的一条射线。