1885年，瑞典国王奥斯卡二世宣布了一项由四个数学问题组成的公开挑战。法国博学多才的亨利庞加莱关注的是一个与天体运动有关的问题，即所谓的n体问题。太阳系会永远保持它的顺时针运动吗？这些行星是会飞向虚空，还是会坍塌成一个炽热的太阳？庞加莱研究表明至少有一些系统，比如太阳、地球和月球，是稳定的，他赢得了这个著名的奖项，并在1889年出版了一篇相关文章。不幸的是，他的解决方法是错误的。庞加莱承认了他的错误，并花钱销毁了他的解决方案的副本（花费超过了奖金）。一个月后，他提交了修改后的版本。他现在看到，即使是一个只有三个物体的系统，其行为也可能不可预测，太混乱而无法建模。于是动力系统领域出现了。就我们的目的而言，动力系统只是一个函数，其可能的输出也可以是输入。这允许我们重复插入函数的输出，允许行为的进化。正如庞加莱的研究所显示的，这个简单的前提可以产生如此复杂和随机的例子，它被称为混沌。在大约70年后，有一种优雅的方式可以理解庞加莱的结论，并为混沌带来一些秩序。在才华横溢的年轻拓扑学家（菲尔兹奖得主）斯蒂芬·斯梅尔写完他的第一篇关于动力系统的文章后不久，他收到了一封信，信中他发现了一个相对简单且普遍存在的函数，可以解释庞加莱在三体问题中观察到的混沌现象。斯梅尔称之为马蹄铁。为了理解它，让我们从一个简单的动力系统的例子开始，它不是混沌的。假设你想用一个简单的计算器计算根号2。有一种叫作牛顿法的方法，你应该从任意一个猜想开始，比如说3，然后把它代入函数输出f(3) = 1.8333333，比输入更接近真实值。为了更接近函数，将输出插入到函数中：f(1.8333333) = 1.4621212。再这样做三次，得到1.4142136，这可能是计算器准确度的极限。我们称无限的输出序列为x的“轨道”。把每次迭代看作是时钟的滴答，把轨道看作沿着数轴跳动，接近根号2。在这个例子中，我们称根号2为一个吸引不动点：一个不动点是因为它产生了固定的轨道而吸引是因为，像黑洞一样，它会吸进附近点的轨道。但是，并不是所有的动力系统都表现出如此简单和可预测的行为。一个动力系统的轨道可以周期性地通过有限的一组点，或者向无限延伸，或者没有明显的顺序。为了理解这些概念（它们是混沌系统的核心），考虑一个特别具有启发性的例子，称为帐篷映射，T，定义为x在0到1之间的值。就像糖果制作者拉太妃糖一样，它把这个间隔拉长到原来长度的两倍，对折，然后回到原来的间隔。这意味着0和1都映射到0，1/2映射到1。因为帐篷映射产生的值也在0到1之间，所以它可以是一个动态系统。迭代函数，就像牛顿法，意味着重复这个拉伸和折叠的过程。- 由方程T(x)=−2∣x−1/2∣+ 1所描述的帐篷映射，拉伸并折叠了区间[0,1]。迭代函数对应于重复的拉伸和折叠。
在根号2的例子中，帐篷映射有固定的点，0和2/3。但它也有一个周期在两点之间的轨道，2/5和4/5，我们称它为周期2的轨道和周期3的轨道，周期为2/9，4/9和8/9。令人惊讶的是，因为帐篷图中有一个点产生了一个周期为3的轨道，我们可以证明它在每个周期都有点，不管你选的是哪个正整数，都会有一个重复的轨道。第一个发现这个关于实数轴函数的事实的人是乌克兰数学家亚历山大·沙科夫斯基。然而，他1964年关于这一课题的论文在东欧以外的地区仍不为人所知，直到1975年，马里兰大学数学家李天彦和詹姆斯·约克独立地重新发现了这一成果才为人所知。他们证明了这样一个动力系统也有没有可识别模式的轨道，就像帐篷映射中点根号2减1的轨道。他们写道，“周期3意味着混沌”，并在此过程中创造了数学术语“混沌”。更有趣的是，尽管√2- 1和√2- 0.999两个点距离很近，但它们的轨道分离得很快：例如，T^9(√2- 1)= 0.07734，而T^9(√2- 0.999)= 0.58934。这种现象被称为“对初始条件的敏感依赖”，或者更通俗的说法是蝴蝶效应。最初的小变化可能导致大的结果变化。正如数学家兼气象学家爱德华·洛伦兹所言:“巴西蝴蝶扇动的翅膀会在德克萨斯州引发龙卷风吗?”虽然混沌没有固定的定义，但这种敏感的依赖性是它的特征之一。为了帮助理解这些混乱的系统，让我们使用一种起初看似粗糙的技术。首先，将可能值的区间划分为标记为L和R的两半，然后，随着轨道的发展，简单地记下下一次迭代的一半落在了哪里。这个顺序就是轨道的“行程”。例如，周期3的轨道2/9的行程是LLRLLRLLR…，因为2/9和4/9在L内，8/9在R内。√2- 1的轨道的行程从 LRLRRRRRLL开始。用它们的行程来表示轨道看起来是一种巨大的信息损失，但事实并非如此。这是因为每一个可能的L和R序列都对应于一个且只有一个点。例如，2/9轨道是唯一一个行程为LLRLLRLLR的轨道。这个特性为分析帐篷映射的动态提供了一个方便的工具。它揭示了当点的行程是周期性的时候，点是周期性的。它还可以让我们从任何给定的路线中确定一个点的精确位置。现在，让我们将帐篷映射的概念扩展到更多的维度，并最终满足斯梅尔的马蹄铁函数h。从一个正方形开始，将它拉伸成一个细矩形，折叠成一个马蹄铁，并将其放置在原来的正方形上。和所有的动力系统一样，我们可以重复这个过程——拉伸、折叠、拉伸、折叠、拉伸、折叠——马蹄形中的马蹄形。马蹄形图是可逆的——除了知道x点的去向（用h(x)来描述）外，我们还知道x点的来源。将h^（-1）应用到原来的正方形上，就得到了一个与第一个直角的新马蹄形。如果你继续，新的马蹄铁里会有更多的马蹄铁。有一组点，我们称之为H，它由所有水平和垂直的马蹄铁的交点组成。这就是有趣的事情发生的地方。就像帐篷映射一样，马蹄铁地图也可以用旅行路线来分析。让我们定义L为垂直马蹄铁的左边，R为右边。现在如果我们在H中取任意一点，我们就可以计算出它正向轨道的行程。因为马蹄铁是可逆的，我们也可以确定逆向轨道的行程。例如，我们从L区域的一个点开始，当我们运行正向轨道时，我们得到LRRLRR…，向无限远处移动。当我们运行反向轨道时，我们得到LRRLRR....所以我们可以把它的行程写成…LRRLRRLRRLRR…，下划线表示起点。这是一个周期为3的轨道。有了这些行程，我们就有了对马蹄形地图的完整描述——我们完全理解它——尽管它具有混沌的动力学：每个时期的点，对初始条件的敏感依赖等等。现在我们可以看到斯梅尔的马蹄铁如何更清楚地描述庞加莱的三体问题中的混沌。在他混乱的马蹄铁中，必定有一个固定的点（称之为p），因为每个可能的路线都存在点。这意味着一定还有一个点——我们把这个点叫作q——这个点的行程是……LLLRLLL....这个点的向前轨道接近p（我们称之为“进入未来”），它的向后轨道也接近p（进入过去）。同时，庞加莱观测到某些函数的不动点具有吸引和排斥方向。这意味着有一个向固定点移动的曲线，就像静脉将血液送回心脏，也有一个向外移动的曲线，就像动脉将血液送进身体。如果这些曲线相交，相交点，称为同宿点，具有一种奇特的性质，即它们在未来和过去都接近不动点。- 点q是一个同宿点，因为它在向前和向后的时间内都接近不动点p。当这种情况发生时，曲线产生同宿的纠缠并显示出混乱的行为——就像马蹄铁一样。
斯梅尔指出q是一个同宿点，因为它的轨道在未来和过去都趋向于p。至关重要的是，斯梅尔还证明了相反的情况：如果有一个同宿点，那么你就得到了一个马蹄铁。既然我们知道马蹄铁是混沌的，那么庞加莱的系统肯定也是混乱的。换句话说，庞加莱的复杂系统——以及任何具有同宿点的系统——都表现得像斯梅尔的简单系统。了解马蹄铁，你就能掌握混沌本身。斯梅尔也证明了这种混沌是稳健的。如果我们将正方形映射到一个稍微不同的马蹄铁上，得到的映射将具有相同的混沌行为。尽管系统中存在局部不稳定性，但整体行为是非常稳定的。也就是说，这种混乱不是转瞬即逝的，即使是在很小的干扰下。混乱本身是稳定的。混沌理论将继续吸引公众的注意力。1986年《科学美国人》上的一篇文章把它作为“科学建模的新范式”提出，詹姆斯·格莱克1987年的畅销书《混沌》的副标题也很有争议:“创造一门新科学”。混乱出现在流行文化中，比如1990年的小说《侏罗纪公园》和汤姆·斯托帕德1993年的戏剧《阿卡迪亚》。尽管一些数学家对这种炒作感到愤怒——动力系统毕竟不是什么新鲜事——但混沌系统对数学和科学的影响是深远的。混沌的存在表明，即使在确定性系统中，由于混沌对初始条件的敏感依赖，我们也可能无法准确预测未来。但是因为有了像斯梅尔的马蹄铁这样的工具，我们仍然可以从这些系统中提取有用的信息。
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