【原】心中有数｜不定方程

一、题型的起源及发展

重庆中考在2013年和2014年在填空题最后一题考查不定方程的解法，2015－2017年开始考查正方形中的几何问题，2018-2021年重新考察不定方程。

二、题型总结

列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程个数一样多。但如果方程（组）中未知量的个数多于方程的个数，那这个方程（组）就称为不定方程（组），不定方程（组）一般有无数个解，但根据题意，实际只要我们求出无数组解中的特殊解（往往是整数解）

三、方法总结

针对这种题型我们可以总结以下几个步骤

1、读题审题，通过列表法把数量关系表示出来

2、大胆设未知量，列出方程

3、所求结果用字母表示出来（用整体法、消元法带入求值）

4、根据整除、奇数偶数、范围等特征来确定数值

四、典型例题

题型一：利用整体法求值

例1． 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元， C水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为多少元。

解：设甲种搭配x套，乙种搭配y套，丙种搭配z套，由题意得：

	甲搭配	乙搭配	丙搭配	水果单价
A水果	2kg	3kg	2kg	2元
B水果	4kg	8kg	6kg	1.2元
C水果		1kg	1kg	10元

∴（2×2+4×1.2）x＋（3×2＋8×1.2＋1×10）y＋（2×2＋6×1.2＋1×10）z＝441.2

整理得：22x＋64y＋53z＝1103 ①

又∵2×（2x＋3y＋2z）＝116

整理得：2x＋3y＋2z＝58 ②

将②×11得：22x＋33y＋22z＝638 ③

由①－③得：31y＋31z＝465，即y＋z＝15

∴C水果的销售额为：10×15=150（元）

同类练习1.（2018年一中九下一模）2018年4月20日，重庆一中庆祝建校87周年暨第23次奖学金大会在学校本部运动场隆重举行。其中小科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人。后来经校长会研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元，调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多少元。

解：设原计划一等奖奖金为x元，二等奖奖金为y元，三等奖奖金为z元。

由题意得：

	原计划人数	原计划奖金	调整后人数	调整后奖金
一等奖	5	x	10	X－80
二等奖	15	y	20	Y－50
三等奖	40	Z	30	Z－30

∴5x＋15y＋40z＝10（x－80）＋20（y－50）＋30（z－30）

整理得：5x＋5y－10z＝2700

又∵y－z＝70，即z＝y－70

将z＝y－70代入5x＋5y－10z＝2700

得x－y＝400

∴x－80-（y－50）＝x－y－30=400-30=370

∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元

同类练习2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了多少朵。

解：设甲种盆景有a组，乙种盆景有b组，丙种盆景有c组。

由题意得：

	红花	黄花	紫花
甲盆景	15	24	25
乙盆景	10	12
丙盆景	10	18	25

∴15a＋10b＋10c＝2900，即3a＋2b＋2c＝580 ①

又∵25a＋25c＝3750，即a＋c＝150 ②

∵黄花一共用了24a＋12b＋18c，即6（4a＋2b＋3c）

∴由①＋②得，4a＋2b＋3c＝730

∴6（4a＋2b＋3c）＝6×730=4380

∴黄花一共用了4380朵。

题型二：根据奇偶性求值

例1．（18-19学年八中九上半期）一间手工作坊，分成了两块区域，第一块区域里摆了一张四方桌（四条腿）和若干圆凳（三脚凳），第二块区域里摆了一张圆形桌（六条腿）和若干方凳（四脚凳）。现有若干学生来到作坊进行手工创作比赛，每人分别落座后，将多余的凳子撤出手工作坊，它们分别围坐在方桌和圆周旁开始今天的创作。此时，一位在场的学生发现整个手工坊里人脚加桌脚加凳脚共有38条（包括观察者本身）。最后统计发现第一块区域的参赛学生平均每人完成了10件作品，第二块区域的参赛学生平均每人完成了5件作品，那么所有参加本次比赛的学生平均每人完成     7     件作品。

解：设有x名学生坐圆凳，y名学生坐方凳，则由题意得：

4+3x＋2x＋6+4y＋2y＝38

           5x＋6y＝28

∵偶数＋偶数＝偶数，6y、28均为偶数

∴5x为偶数

∴x＝2，y＝3

∴（2×10+3×5）÷（2+3）＝35÷5=7（件）

∴参加比赛的学生平均每人完成7件作品。

题型三：数的整除

例1.某校组织“爱一中”夏令营活动，决定乘坐大、中、小三种巴士，大巴士每辆乘坐42人，中巴士每辆乘坐28人，大、中巴士共6辆且中、小巴士共乘坐212人，原计划刚好做满。出发当天有a人请假（13<a<16）。因此需要减少一辆小巴士且多出一个空位，则“爱一中”夏令营活动实际参加              人。

解：设大巴车有x辆，小巴车有y辆，则中巴车有6-x辆

由题意得：

	每辆乘坐人数	车辆数	实际乘坐辆数
大巴车	42	X	X
中巴车	28	6-x	6-x
小巴车		Y	Y-1

∴根据题意得：42x+212=42x+28（6-x）+（y-1）×-1+a

整理得：=a-1

∵13<a<16

∴a=14或a=15

①当a=14时，=13，即y= =  =3+2x+

∵x、y均为整数，所以2x+5为13的倍数，且x、y均不为0,。

∴只有当2x+5=13时，x=4，y=12

②当a=15时，=14，即y==3+2x+

不为整数，所以舍

∴综上所诉，X=4，y=12，a=14

∴实际参加人数为：42x+212-14=366（人）

同类练习.本年级许老师在银行兑换了一张面值为100以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如把21.32看成了32.21），并按照看错的数字支付了，许老师将其款花去了3.5元以后，发现其余数正好是支票面额的2倍，于是匆忙到银行将多领的款项退回，那么许老师应该退回的款额是      元。