 武汉数学中考压轴题  令人眼花缭乱的原题图 第一问证明： 从何下手？ 全等？平行成比例？ 勾股定理？相似比例代换？ 圆当中，格外注意圆周角。 再者，三角形多，角多， 所以尝试从角入手。 一所好大学！ 首先画出与这一问相关的简略图！ 用复杂的原图，很难打开思路！ ∵y轴上的直径EF⊥BD， ∴弧BE=弧DE， ∴∠3=∠C----① 以上证明用到了 垂直于弦的直径平分弦所对的弧， 同弧或等弧所对的圆周角相等。  第一问附图 ∵BI平分∠CBD， ∴∠2=∠1----② ①+②得： ∠3+∠2=∠C+∠1。 而外角∠4=∠C+∠1， ∴∠3+∠2=∠4， ∴BE=IE。 目前暂无更简捷的证法。 第一问感悟： 考场上，面对题目复杂的描述，要善于尽快让已知和未知挂钩！ 成年后为人处事的技巧，正是从做题过程中学到的。 要善于在纷繁芜杂的人际关系中 很快抓住本质，控制住事态发展。 复杂的题目往往解起来并不麻烦，怕就怕被扰乱心智。 第二问求解： 连接QA并延长交圆⊙A于点R， ∵QR为⊙A的直径， ∴∠QDR=90°， 则∠Q+∠R=90°----③ ∵同弧QD所对的圆周角 ∠QBD=∠R， 且已知∠G+∠QBD=90°， ∴∠G+∠R=90°----④ 由③④知：∠Q=∠G。 又∵∠QAT=∠GAQ公共角， ∴△QAT∽△∠GAQ， ∴QA:GA=AT:AQ， 则AT·AG=半径QA的平方。 能否求出半径的具体数值？ 有两种求法： 求法一： ∵BC是⊙A的直径， ∴BE⊥CE， ∵AI⊥CE已知， ∴AI//BE， 设AI=n，由中位线知， IE=BE=2AI=2n。 在Rt△AIE中由勾股定理 得半径AE为 根号5倍的n。--⑤ ∵∠5+∠6=∠3+∠6=90°， ∴∠5=∠3， 则Rt△BOE∽Rt△∠EIA， ∴BE:OE=EA:IA， 即2n:OE=(AO+OE):n， ∴2n:OE=(3+OE):n， 很容易解得 OE=2n/(根号5)。--⑥ 由⑤⑥知： 3+OE=根号5倍的n， 也很容易求得n=根号5， 则半径为5。 此时，已经知道了直线AB 解析式中的k=3/4。  第二问附图 求法二： 设AI=n， ∵AI⊥CE由垂径定理 IC=IE=2n， 在Rt△AIC或Rt△AIE中， 均可由勾股定理得半径为 根号5倍的n， ∴OE=AE-AO =(根号5倍的n)-3， 在Rt△ABO和Rt△BEO中， 由勾股定理得：  第二问的求法二 故AT·AG=半径的平方=25。 第二问感悟： 以上两种解法大同小异， 在圆中，凡见到垂直，必考虑 勾股定理、垂径定理、相切。 求线段长，注意全等、相似、 切线长定理。 本题的缺憾在于未涉及到相切。 都在努力学。 第三问求解：推荐三种解法： 解法一： 设圆O1与x轴交于点H， 连接NH并延长交MD于点K， 连接MO1并延长交圆上点J， 连接JN、JP。 好家伙，光铺垫就不少。 目的是证明 JN和PH两弧长相等。  第三问的解法一附图 ∵k=3/4，OA=3， ∴BO=OD=4，AB=5， ∴∠3=∠D且 cos∠ABO=BO:AB=4/5。 ∵同弧MH所对的圆周角 ∠3=∠4，而∠3=∠D， ∴∠4=∠D， ∵∠D+∠OMD=90°， ∴∠4+∠OMD=90°， ∴NK⊥PD----⑦ ∵直径JM所对的圆周角 ∠JPM=90°=∠JNM， ∴JP⊥PD----⑧ 由⑦⑧知NK//JP， ∴由平行弦所夹的弧相等得 弧JN=弧PH， ∴等弧所对的圆周角相等即 ∠5=∠ABO， ∴cos∠5=cos∠ABO=4/5， 即MN:JM=4/5，而JM=2R， ∴MN/R=8/5，比值不变。 随着点P在AB上的移动， 圆O1的大小也随之变化， 弦MN的长也必随之变化。 风雨飘摇中，唯有△ABO 坚守贞操、岿然不动。 解法二： 设OM=m， 则点M坐标为(0，m)， 而D(4，0)，  第三问的解法二附图  第二问的解法二 ∴∠NBM=∠A。 过点O1作O1L⊥MN于点L， 则MN=2LN且 ∠LO1N=∠NBM=∠A， ∴sin∠LO1N=sin∠A=4/5， 即LN:R=4/5， ∴MN/R=8/5。 解法二较繁琐，用到了勾股定理、 直线解析式、相似、垂直于弦的 直径平分这条弦等知识点。 解法三：  第三问解法三附图 ∵MO⊥BD，OB=OD， ∴∠5=∠6. 由三角形外角知： ∠5=∠3+∠A， ∠6=∠4+∠2， 同弧PM所对的圆周角 ∠3=∠4， ∴∠A=∠2=∠LO1N， 则sin∠LO1N=sin∠A=4/5， ∴LN:R=4/5， 故MN/R=8/5。 提高成绩的捷径是 宁花时间钻研探究透彻一道 综合性强题，决不浪费时间 做过多的题。另多加体会总结。 努力学！ 我常年担任中高考教研， |
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