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(a+b)的n次方的展开式是一个关于a和b的多项式。
对a而言，它是从n到0的降幂排列，对b而言，它是从0到n的升幂排列。当然，也可以反过来，a按升幂排列，b按降幂排列。系数是一系列组合数C(n,m)，就是从n中取m个数有几种组合形式。其中m从0取到n. 由于式子用文本表示过于复杂，因此以图片的形式展示如下：
右侧写成求和的形式，是为了后面书写推导公式的方便，否则每一个式子的长度都会太长。而组合数的公式如下：
需要注意的是，因为C(n,m)=C(n,n-m)，所以这个展开式中的系数是对称的。 这个展开式称为牛顿二项展开式，这是伟大的科学家牛顿推导出来的，并且他还把指数推广到有理数的范围。学生阶段基本上只用到正整数指数部分的公式，也就是这篇文章主要讲的这个公式。有理数指数的牛顿二项展开式可以称为广义二项展开式，而整数指数展开式则称为狭义二项展开式。 想一想300多年前的人，数学理论并不如现在这么齐全，而牛顿就能推导出来我们现在绝大部分人还无法推导出来的公式，可见像牛顿这样的科学家有多么伟大，简直就是神一样的存在。下面老黄分享一下狭义二项展开式，运用现代数学的方法，是怎么推导出来的。 这里运用的是数学归纳法的思想，先证明当n=1时的特殊情况，很明显的(a+b)^1=a+b=C(1,0)a^1b^0+C(1,1)a^0b^1，符合二项展开式的形式。为了下面推导的方便，写成求和符号的形式，即等于∑(k=0,1)C(1,k)a^(1-k)b^k. 接下来就可以假设当n=m时，二项展开式成立，即(a+b)^m=∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k. 然后推导(a+b)^(m+1)的展开式，证明它也符合二项展开式的形式，就可以了。具体的推导过程如下：
仍有一些朋友对最后两步感到疑惑，那是因为对求和公式的不熟悉造成的。接下来补充对第四行两个求和公式的合并过程中，两个同类项的系数如何求和，如下图：
最后一步如果想不明白的话，可以把求和公式展开，再与a^(m+1)和b^(m+1)两个项合并成一个求和公式，就可以了。 牛顿二项展开式在数学学习中的应用非常广泛，是一定要掌握的知识。 |
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