彩虹也能“生”出小彩虹

skysun000001 2022-03-29

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生命是近似的艺术。如果我们考虑生活方方面面的每个细节，将永远无法取得新进展。当然，我们需要小心地选择忽略哪些事情，因为如果那些细节里包含众所周知的魔鬼，他们可能会反过来咬我们一口。

数学家们已经吃过很多次苦头了。一个典型的例子是斯托克斯现象（Stokes' phenomenon）。它起源于近二百年前一个关于彩虹的问题，并衍生出了一个数学的子领域。事实上，今年剑桥汇集了一些这个领域最聪明的人才，就这个话题开展了一个虚拟研究项目。这个问题涉及非常小的量——呈指数级小。但经过时间和空间的推移，这个小量可以按照指数级增长到很大。了解这些潜在的可以爆炸性增长的量不仅对数学、也对从制造喷气发动机到理论物理学的工程与科学各个领域都至关重要。

彩虹之下

这个问题始于1838年，当时天文学家乔治·比德尔·艾里（George Biddell Airy）对彩虹很感兴趣。

如果足够幸运的话，仔细观察彩虹会发现，在彩虹主体（主虹）下方有一个或几个不太明显的弧线，主要是绿色、粉色和紫色。艾里对这些多余的条纹（附属虹，supernumerary fringes）感兴趣，并不是因为他们本身，而是因为在光学透镜中也出现了类似的边缘效应。作为一名需要经常使用望远镜的天文学家，艾里想要理解这一现象背后的原因。

有附属虹的彩虹。摄影：Johannes Bahrdt

艾里函数

艾里函数Ai(r)是下列微分方程的一个解：

它由这个积分给出：

沿着垂直穿过彩虹的坐标轴，光的强度与艾里函数的平方有关。

在17世纪初，勒内·笛卡尔（René Descartes）使用一种将光想象成由射线组成的理论解释了主彩虹的成因。“但光的射线理论并不能预测附属条纹的存在，所以我们不能模拟出它是什么”克里斯·豪斯说，他也是牛顿研究所项目的共同发起人。“艾里使用了光的波动理论，这种方法自然地导出了附属条纹。”

艾里写下了一个数学公式，这个公式现在被称为艾里函数（Airy function），从中可以得到主虹和附属虹的光强，当用一个垂直于彩虹的直线坐标轴来描述彩虹时，我们还能得到彩虹弧线的位置。“艾里想计算这些多余的条纹在哪里，因为这将有助于改善望远镜的光学性能。”豪斯说。

艾里函数的问题是很难计算，给定一个特定的x值，很难计算出艾里函数值Ai(x)。起初，艾里使用求积方法（quadratures），费尽心力地计算了x从-4到4间隔0.2时艾里函数的值。十一年后，他使用数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus de Morgan）推荐的方法改进了结果：使用无穷多项级数的和来对函数做近似。

利用现代方法我们可以计算艾里函数值并画出图像。最右边的主凸起代表了主彩虹，左边较小的凸起代表附属虹。（艾里函数的平方给出了光强。）图源：豪斯

指数的力量

无穷级数求和的想法乍一看似乎很奇怪，让我们来看个例子。

考察指数函数：

其中e是欧拉常数e=2.718281…

这个函数由下面这个无穷多项求和的泰勒级数给出：

级数的每一项都是变量x的幂函数。

现在给变量x赋予任意一个特定值，我们永远不能将这个级数的每一项都加起来（因为没有无限的时间），但是可以对前n项求和，得到所谓的部分和。我们得到的结果是e^x的一个近似：n越大（也就是部分和中包含的项数越多），这个近似就越精确。事实上，只要将n取得足够大（即部分和中包含的项足够多），我们可以得到任意精度的近似值。数学上认为这个级数对于所有的x都可以收敛到值f(x)。

举个例子，现在为了估计x=2时e^x的值，我们取x=2简单地计算泰勒级数（也叫麦克劳林级数）的前几项，保留前五项，我们得到：

而函数f(x)在x=2时的真实值是f(2) = e² ≈ 7.4.

所以在这个例子中，甚至只取泰勒级数的前五项就可以给出x=2时函数值的一个合理近似。

泰勒级数存在于一整类函数中。并且泰勒定理可以告诉我们近似值与函数的真实值差距有多大。

泰勒的失败

泰勒级数在理论上很棒，并且艾里使用与艾里函数相对应的泰勒级数也确实可以计算出x从-5.6取到5.6时函数的值。但仍然有一个障碍。尽管艾里函数的泰勒级数可以收敛到函数本身，但它收敛得太慢了。“在得到第一个附属条纹前，我们甚至需要计算13到14项”豪斯说，“在1838年这非常困难，因为当时的科学家不得不用手算，这是不切实际的。”

蓝色曲线是艾里函数，红色曲线保留前三项泰勒级数得到的近似，可以看到近似值只与代表主彩虹的右方第一个凸起相符。图源：豪斯

为了找到一种更简单的近似艾里函数的方法，数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes）在1850年决定冒险使用一个不收敛的级数做近似。

撒旦级数

容易想象，不是所有的级数都收敛在有限值。一个简单地例子是下面这个级数：

当部分和中包含越来越多项时，得到的结果也越来越大，最终超过所有的边界——它们不会接近一个有限值。这个级数会发散到无穷大。

发散级数像马戏团里的野兽，危险但可以用各种技巧控制。在1828年，就在斯托克斯开始研究艾里函数前不久，挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）就用“魔鬼的发明”来描述发散级数，并且声称“任何基于发散级数的证明都是可耻的”。

但斯托克斯在寻求对艾里函数做近似时并没有被吓倒。出于对艾里函数数学本质的深入剖析，他开始考虑运用发散级数。事实上，发散级数给出了一个对艾里函数很好的近似。

“驯兽”的技巧在于知道从哪里停止。由于斯托克斯使用的级数发散到无穷，所以如果部分和中的项数取得过多，近似值会变得巨大并且远远偏离对应的有限大小的艾里函数值。但如果部分和的项数取得刚刚好，那么近似值就会很接近实际函数值。

当把发散级数越来越多的项加起来，我们会得到一个越来越大的结果，最终发散至无穷。但是斯托克斯知道对于他使用的发散级数，取适当多的项可以得到艾里函数的一个好的近似。

斯托克斯的精妙方法使他能够“非常方便地”在所求的x值处近似得到艾里函数值，所以他基本上解决了计算出附属彩虹的问题。下图蓝色曲线代表实际的艾里函数，红色曲线代表斯托克斯的近似。可以看到红线对蓝线的拟合非常接近。仅有的不符出现在x=0的附近，在红色曲线发散向无穷的中间。

就彩虹而言，这种差异并不重要，因为我们感兴趣的是艾里函数在x=0左侧代表附属虹的行为。

蓝色曲线是实际的艾里函数，红色曲线是斯托克斯的渐进近似。公式给出了在不同部分的近似。图源：豪斯

这里，“渐进”这个词代表近似只在x为足够大的正数和足够小的负数时有效。（类似于我们在学校中学过的直线渐近线。这里给出了渐进的严格定义。）

尽管成功解决了问题，斯托克斯却并不满意。他的近似的两部分由两个十分不同的数学公式描述（在上图给出），令斯托克斯十分困扰。“斯托克斯想知道的是，如何从一个表达式过渡到另一个。”豪斯说，“从1850年到1902年，这个问题一直困扰着他。”斯托克斯最终给出的答案显示，当涉及到渐进近似时，微小的指数项可以突然出现然后增长到占据支配地位。各中详情，请听下回分解。

作者：Marianne Freiberger

翻译：藏痴

审校：zhenni

原文链接：

https://plus./content/stokes-phenomenon-asymptotic-adventure