计算器是如何计算sin、cos等科学函数的值呢？

计算器是如何计算sin、cos等科学函数的值呢？

 

　　在小型计算器（需带有函数计算功能）上，计算sin45的值为：（本文用sin45为例）

　　　　sin45=0.707106781

    这种小型计算器提供了10位有效数字显示，但其实内部还有几位有效数字，可以再通过下述方法显示出来：在上述结果上，再乘以10000，得7071.067812（这里显示已经多了一位），再减去整数部分7071，得0，067812，再乘以1000，得67.81187（这里又多了3位）。所以这种小型计算器内部可以计算得到函数值为14位有效数字（最后一位是四舍五入）。

　　在电脑操作系统自带的计算器上，也可以完成此运算，如下图：

　　

　　对比小型计算器的结果，可见电脑获得的有效位数多达32位，功能十分强大。

　　在带有函数计算功能的计算器上除了sin、cos等三角函数，还指数对数函数、幂函数等各类函数计算计算功能，那么机器内是如何得到这些值的呢，是否也有一个表存储大量的值用于查找呢？肯定不是的。

 

 

　　下面从数列、级数、泰勒公式等知识，大致推导得到计算机的计算方法：

    先介绍数列和级数的概念：

　　

　　了解了数列和级数，跟计算sin45值还差得远了。先介绍一位数学家：布鲁克·泰勒（ Brook Taylor ），1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦，是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

　　那么泰勒公式是如何用来计算sin45的值呢，当然这里用sin45为例，泰勒公式能计算的函数多了。

　　首先，设sin是一个函数，表达成：f(x)=sinx，也有写有y=sinx，实质是一样的。这个函数除了几个特殊值，我们可从三角学来求得，如sin90=1,sin0=0等，其他值根本无法求得。如果能把这个f(x)=sinx分解成一个幂级数，先不管这个f(x)能否真的能够分解为下式，这里先假设能分解为下式：

　　

　　式中尽管把函数f(x)展开成一个级数，但各项的系数a还是未知的，所以无法用①式求任意函数值。为了求各项系数，对公式①进行逐项求导数（或说多次求导），可以得到f(x)的各阶导数式，如下：

　　

　　上面4个式子，是分别对f(x)求一阶、二阶、三阶、n阶导数得到。这里用到了微积分的知识。对于任意的一个x，上面1到5式都应该成立，这里设x=0（对应于f(x)=sinx就相当于sin0）就能通过①—⑤来求得各个系数的值：

　　把x=0代入①式，得a0=f(0)；

　　把x=0代入②式，含x的第二项及后面各项，都变为0，所以有：f’(0)=a1，即系数a1的值为函数f(x)取x=0时的一阶导数的值。对于sinx的一阶导数为cosx，所以f’(0)=cos0=1。

　　依次把x=0代入①—⑤式，整理得到：

　　

　　再把各项系数代入①式，就得到了所谓的麦克劳林公式：

　　

　　这个麦克劳林公式，是泰勒公式当x0=0的一个特例，如果用泰勒级数表达，则为

　　看来，公式①仅仅是假设的，是否成立还不一定，只要能够找到各项系数的表达及计算方法，就可以认为公式是成立的。通过上述逐级求导的方法，只要f(x)的各阶导数都存在，公式６则这种表达就可以成立。所幸对于许多函数来说，如sin、cos、对数指数等，甚至较复杂的幂函数，大多可以符合条件，找到这种级数的展开表示法。

　　对于函数f(x)=sinx，通过计算各项系数，再展开为级数：

　　

　　从上面几个式子可以看出，sinx的各阶导数呈现规律为：顺序循环为0,1,0,-1，所以根据这个规律把求出的各阶导数值代入公式７，可以写出sinx展开后的麦克劳林公式为：

　　

 

　　但是，至此还看不出这种表达式的任何好处，相反，总觉得把一个简单的函数弄得相当复杂，似乎无助于问题的解决，那个sin45还是可望而不可及。但观察(8)式，对于一个具体确定的x值，每一项都是可以计算的，一些分式上x的次方也是整数，也是可以求出的，尽管计算相当繁复，但编制程序由计算机处理，将变得极为容易，不像sin45一样让人束手无策。

　　但是，这里还存在二个问题，一是对于三角函数，需把角度转换成弧度，才能代入公式计算；二是这个级数有无数多项，又如何进行计算呢？

　　对于f(x)=sin45，得先表达成弧度形式，45是角度值，转换成弧度就是∏/4。

　　对于级数有无数项，其实这又是泰勒级数的精妙所在：随着n的增大，后面各项的值将越来越小，直到趋向于0，用数学术语来表达的话，就叫级数是收敛的，也即当n趋向于无穷大时通项的极限＝0，所以只需计算前面若干项就可以得到函数的近似值，当然，项数取得越多，最终计算得到的精度也越高。如果级数是通项不趋向０，则级数是发散的。这就无法用于上述计算了。

　　下面通过取前４项的来进行计算：

　　1.        x=∏/4　=  0.78539816339744830961566084581988

　　2.        -x^3/3! = -0.08074551218828078170696957048724

　　3.        x^5/5!　=  0.00249039457019272016001579842157

　　4.        -x^7/7! =- 0.00003657620418217725078660518698

　　   Sin45=sin(∏/4)=  0.707106469575178070817920468567

    （这里的运算还是使用了计算器，主要是为了能说明问题。手工计算也行，只是量相当大，特别是取有效位数多的时候，估计如果手工计算，没几人能算得下来。而且上述过程没有考虑太多近似计算的理论。）

    与计算器或计算机的运算结果对比，前6位有效数字是正确的。从上述计算级数的前４项的值来看，可以明显看出，当n增大时，对应项的绝对值是急剧减小。

    理论上函数展开后的泰勒级数为无穷级数，但工程实际上需要的仅是合适精度的近似值。即使是电脑中的科学计算器得到的结果也是一个32位的近似值，如果需要更高的精度，只需编写电脑程序来实现。至此，已基本解决sin45度值如何得到的问题，其他三角函数、指数对数函数等都可以通过上述方法来进行理论推导和近似计算。