什么叫做“泰勒公式”？

1.引言

我们在介绍拉格朗日公式时，得到一个公式：

f(b)-f(a)=f'(ε )(b-a)

拉格朗日看到这个公式就想，我们令b=x,a=0 就可以得到

 f(x)-f(0)=f'(ε )(x-0)

移项，化简：就得到

f(x)=f'(ε )(x)+ f(0)

f(0)可以认为是一个常数，所以，就得到

f(x)=a+f'(ε )(x)

这个公式表明：任何一个函数，都可以写成一个a加上函数一次求导形式。

而函数求导最大的好处就是：降低函数计算的复杂度。

例如：我们知道 sinx≈x, ln(1+x)≈1/(1+x)

所以，如果看到 sin0.001你就立刻知道他大约等于0.001， ln1.001大约等于1/1.001

求导能把复杂的正弦、对数运算转换为加减乘除运算。

2.泰勒级数

拉格朗日看上面公式是好的，但是他感觉有点遗憾，sin0.001≈0.001 是没错，但是误差到底是多少？因为在高科技上，精度99.9999%和 99.99999%还是有区别的。所以，要能解决f(x)的精度问题。

这个问题，拉格朗日到死都没解决掉，但是后来被泰勒解决了。泰勒看了

f(x)=a+f'(ε )(x)

这个公式后，突发奇想：如果函数f(x)可以写成如下方式就好了：

这样，如果以后再求sinX时，因为高级次幂可以忽略，就能知道sinX的精度了。

请别问我泰勒为什么会怎么想到用这个公式表示，因为人家是天才。

所以，我们现在就要求a,a1,a2，a3到底是多少。

也许没有一个人知道泰勒是怎么想到的，但是，最终，泰勒给你一个结论：

a=f(x), a1=f'(x), a2=f''(x), a3=f'''(x)

这样，泰勒级数就出来了：

如果a=0，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

3.常规函数泰勒展开式

下面介绍求sinx的展开式：

现在，数学家已经把常用函数的泰勒展开式都给计算出来了。

4.泰勒级数有什么用

在本文开头曾经说过，求导无法确定精度，使用泰勒级数，最大的好处，就是知道了我要的精确到什么程度。

所以 sin0.1=0.1-0.1^3/3!+0.1^5/5!-0.1^7/7!+0.1^9/9! ...

能很明显看到后一项比前一项小，当小到一定程度，满足我们的精度，我们就可以认为他是合适的。

就像圆周率π，普通计算取3.14就能满足，高精度的取3.1415926可以满足，超高精度的 3.14159 26535 89793 23846 大家都知道他是无限不循环小数，但是这并不影响他的正常使用。

总之，这个精度范围你可以控制的。