【原】泰勒级数与幂级数

    由幂函数序列

所产生的函数项级数

​

称为幂级数。

    泰勒中值定理指出：若函数f在[a, b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a, b)上存在(n+1)阶导函数，则对于任意给定的

至少存在一点ξ介于x₀与x之间，使得

其中

为拉格朗日型余项，ξ可以表示为

    若舍去泰勒公式的余项，并取

时的极限，即泰勒多项式

在

时的极限，则可以得到由函

生成的一类特殊的幂级数

​这类幂级数叫作泰勒级数。

    在一定的条件下，函数的泰勒级数(的和函数)等于原来的函数。幂级数由于其求导、积分等运算非常简便，而且还有很多其他的优异性质，因而是一种非常重要的研究函数的工具。要用泰勒级数研究函数，需要满足的一个重要条件就是函数跟它的泰勒级数相等，而这个条件对于很多初等函数来说是容易满足的。以下定理给出了函数跟它的泰勒级数相等的充分必要条件。

定理

设函数f在点x₀具有任意阶导数，那么函数f在区间(x₀-r, x₀+r)上等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式

的x, 有

    该定理由泰勒中值定理很容易证明，不再赘述。如果函数f在x₀的某邻域内等于其泰勒级数的和函数，则称函数f可以在x₀的这一邻域内展开为泰勒级数，并称

​

等号右边部分为f在x₀的泰勒展开式，或称幂级数展开式。可以证明，函数的幂级数展开式是唯一的。当x₀=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数。

    尽管之前介绍过其他方法也可以将某些特殊函数展开为幂级数(用二项式定理推导指数函数的幂级数展开式；用三角函数的n倍角公式推导幂级数展开式)，但通常需要特殊的技巧，不具有一般性。泰勒公式是将函数展开为幂级数的一般方法。