【原】泰勒展开实例

我们已经将实变函数的泰勒展开的形式直接推广到复数域，得到了初等复变函数的泰勒展开的形式。利用这些最基本的展开式，可以将一些复杂的函数展开成幂级数。

求解析函数的泰勒展开最常见的一种方法是利用几个最基本的泰勒展开借助级数相乘的方法实施。比如说下面这个函数：

我们可以通过因式分解将这个函数写成两个基本函数的乘积，并对这两个基本函数做泰勒展开，从而得到两个级数相乘的形式：

引入一个新的求和指标，将上面等式中最右边的结果改写成单个幂级数的形式：

其中的通项的系数

等式最右边的求和式正是一个等比数列的和式，利用等比数列的求和公式：

得到无穷级数的通项的系数：

这就求出了所研究的函数的泰勒展开：

显然，上述函数在 z₁=1 和 z₂=1/2 处是奇异的，并且，z₂ 点离开原点最近。于是，以上得到的泰勒级数的收敛半径 r=1/2。

级数相乘法的一个变形是待定系数法。常规的级数相乘，相乘的两个级数是已知的。但是，在待定系数法中，在相乘的两个级数中，有一个级数正是我们想要求的级数，是一个系数待定的级数。

一个简单的例子是对正切函数 tan z 做泰勒展开。正切函数可以用正弦函数和余弦函数来构造：

如果正弦函数和余弦函数的泰勒展开已经求出，就可以通过待定系数法求出正切函数的泰勒展开。

由于正切函数是一个奇函数，在原点是解析的，因此，我们预期它的泰勒展开必定只有奇幂项：

把正切函数与正弦函数和余弦函数的关系改写成

sin z = cos z tan z

把各个函数的泰勒展开式代入这个改写过的关系式中并稍作整理：

引入一个新的求和指标，上面等式的右边就可以改写成单个幂级数的形式：

根据唯一性定理，两个幂级数要相等，它们的各项对应的系数必须相等：

稍作整理后就得到以下递推公式：

利用递推公式，就可以把展开系数一个一个地求出来。

当 n=0 时，递推公式的左边只有 k=0 这一项，它给出 a₁=1；当 n=1 时，递推公式的左边有两项，它给出以下等式：

由于在 n=0 时已经求出了 a₁，通过上述等式就把 a₃ 求出来了；当 n=2 时，递推公式的左边有三项，它给出以下等式：

由此就可以求出 a₅ 的值。这个过程继续下去，就能够把所有的系数一个一个地求出来，最终得到正切函数的泰勒展开：

由于正切函数在 z=π/2 处有一个奇点，因此，上述展开式的收敛范围是 |z|<π/2。

双曲正切函数在原点处的展开也可以用这种待定系数的方法得到它们的泰勒展开。