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我们的提纲如下： 1. 为什么我们要分解一个函数 2. 傅里叶级数就是三角级数 2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量 2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。 ————————————————— 【最开始的问题一定是：我们为什么要展开一个函数？ 我们知道，泰勒展开是把函数分解成1, x, x^2, x^3, …等等幂级数的【和】。 就是【把一个函数变成几个函数的和】啊！！！这个展开的式子就是泰勒级数啊！！！ 对函数的展开和5 = 2+3 一样一样一样的啊！！！要多简单有多简单有木有啊！！！ 【那么现在提问：】你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里： 因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀呀呀！ 这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊！！！ 所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到123456789阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。一句话，【变化就是导数啊】！！！ 【泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！！】 所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊！！！ —————————————————————————— 喂！！！不要再跑题啦啦！！我们是要说傅里叶级数的好不好！！ 傅里叶级数又叫三角级数啊。一句话就是【把一个函数y拆成三角函数的和】啊啊！！ 下面是傅里叶级数：：： y= 1 + sinx +cosx +sin2x + cos2x + ….. 【这才是傅里叶级数！！！】 亲，你知道的！只有【周期】函数才有傅里叶级数嗷嗷！！也就是说只有周期函数可以拆成三角函数的和呀呀！！ 【神莫】你要问非周期函数肿么办？那你就要去了解【傅里叶变换】了。我变我变我变变变。任何一个比较正常（没有间断点的函数），基本上都可以进行傅里叶变换呀呀呀！！ 我们来说一下【为什么要把周期函数拆成三角函数的和】这也是和【为什么要把一个函数拆成幂级数的和】一样本质的问题。 好，周期函数总有周期吧。 那你知道你想知道为什么分解成三角函数的和（正弦波）那么重要吗？？ 那是因为，我们知道，对于一个周期函数来说，和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢（比如说振动的快慢）。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的，光也是有频率的。 【我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和】 【而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】，所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】（这叫什么，这就叫频域分析，这就叫信号与系统！！） 我们回来看看下面这个真实的例子，这也是一个方波（只不过它是从正到负的，相当于我们之前的方波下移了1/2A【A是幅度】），下面好好欣赏一下彩图吧！我们可以看出来，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x组成的。我们如果把一个方波放到一个电路里的话，它出来的绝不是方波，但却是对sinx,sin3x,sin5x,sin7x…分别的反馈的叠加（分别是系统对sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反馈的叠加…）。  再回来看看我们的傅里叶级数的公式吧：  公式里的l是周期的一半（或者说周期是2l）。 用这个式子我们就可以表示周期是2l的【各种样子】的周期函数。就像我们上面的方波那样。而1/2l就是它的【基频】。之所以所有的频率都是【基频的倍数】那是因为它要符合【（周期性）边界条件！！】 好吧可是为什么又有cosx又有sinx？？！好难看的公式有木有！！ 其实分明就应该是 f(x) = a0 + A1sin(w1x + phi1) +A2sin(2w1x +phi2) + … 但是你把相位拆开了就是上面的式子啊啊啊！！ 但你要知道，这个【相位是多少】【我们是不知道的】，为了求相位我们需要把每一个频率（k）的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出来啊啊，所以ak和bk这两个系数合起来才能搞清楚Ak和phik啊！！ 【一句话，傅里叶级数就是】 把周期函数拆开成 常数（直流分量）+一倍频分量+2倍频分量+…这么简单的一件事啊啊！！ 我们用最简洁的几张图重放一遍： 傅里叶级数就是把f(x)拆成不同频率三角函数的和：  用内积的方法分解出每一个分量的系数：  下面更直接地写出了怎么用内积的方法计算系数【骚年，有木有看到啊，非单位化的基底有多么难看啊！！】 
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