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如何理解傅立叶级数、傅立叶变换公式?

2018-03-06  风九天88

此前在另外一篇文章尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。


1 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示,比如下图中,黑色的斜线就是周期为  的函数,而红色的曲线是三角函数之和,可以看出两者确实近似:


而另外一位数学家:



让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 -1830)猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。


2 分解的思路

假设  是周期为  的函数,傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和,使之等于 


2.1 常数项


对于  这样的常数函数:



根据周期函数的定义,常数函数是周期函数,周期为任意实数。


所以,分解里面得有一个常数项


2.2 通过  进行分解


首先,  是周期函数,进行合理的加减组合,结果可以是周期函数。


其次,它们的微分和积分都很简单。


然后,  是奇函数,即:



从图像上也可以看出,  关于原点对称,是奇函数:



而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数,即:



其中,  表示奇函数。


而  是偶函数,即:



从图像上也可以看出,  关于  轴对称,是偶函数:



同样的,偶函数与偶函数加减只能得到偶函数,即:



其中,  表示偶函数。


但是任意函数可以分解和奇偶函数之和:



所以同时需要  。


2.3 保证组合出来周期为 


之前说了,  是周期为  的函数,我们怎么保证组合出来的函数周期依然为  呢?


比如下面这个函数的周期为  :



很显然,  的周期也是  :



 的周期也是  ,虽然最小周期是  :


很显然,  的周期都是  :



更一般的,如果  的周期为  ,那么:



这些函数的周期都为  。


将这些函数进行加减,就保证了得到的函数的周期也为  。


2.4 调整振幅


现在我们有一堆周期为  的函数了,比如说 :



通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数,比如  看起来处处都比目标函数低一些:



把它的振幅增加一倍:



 有的地方超出去了,从周期为  的函数中选择一个,减去一点:



调整振幅,加加减减,我们可以慢慢接近目标函数:



2.5 小结


综上,构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子:



这样就符合之前的分析:

  • 有常数项

  • 奇函数和偶函数可以组合出任意函数

  • 周期为 

  • 调整振幅,逼近原函数


之前的分析还比较简单,后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数:



 的另外一种表示方法

直接不好确定,要迂回一下,先稍微介绍一下什么是:  ?


3.1 

看到复数也不要怕,根据之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式,看到类似于  这种就应该想到复平面上的一个夹角为  的向量:



那么当  不再是常数,而是代表时间的变量  的时候:



随着时间  的流逝,从0开始增长,这个向量就会旋转起来,  秒会旋转一圈,也就是 :




3.2 通过  表示 


根据欧拉公式,有:



所以,在时间  轴上,把  向量的虚部(也就是纵坐标)记录下来,得到的就是 :



代数上用  表示虚部:



在时间  轴上,把  向量的虚部记录下来,得到的就是  :



如果在时间  轴上,把  的实部(横坐标)记录下来,得到的就是  的曲线:



代数上用  表示实部:



在  的图像中,可以观察到旋转的频率,所以称为频域;而在  中可以看到流逝的时间,所以称为时域




4 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合


假设有这么个函数:



是一个  的函数:



如果转到频域去,那么它们是下面这个复数函数的虚部:



先看看  ,其中  是常数,很显然这是两个向量之和:



现在让它们动起来,把  变成流逝的时间  ,那么就变成了旋转的向量和:



很显然,如果把虚部记录下来,就得到  :



4.2 函数向量


前面画了一大堆图,就想说明一个观点,  是向量,并且是旋转的向量。


而根据欧拉公式,有:



从图像上看:



所以  也是向量。


 称为函数向量,并且函数向量的点积是这么定义的:



其中,  是函数向量,  是  的周期。


关于函数向量,关于函数向量的点积,更严格的讨论可以参考无限维的希尔伯特空间


4.3  是线性组合


虽然比较仓促,让我们先接受  是函数向量,那么它们的线性组合得到的也是函数向量:



根据刚才的点积的定义有:



根据点积的代数和几何意义(关于点积的几何意义可以参考这篇文章), 说明了,这两个函数向量正交、线性无关,是正交基。


如果写成这样:



可以理解为  在正交基  下的坐标为  。


4.4 如何求正交基的坐标


我们来看个例子,假设:



其中 


通过点积:



可知这两个向量正交,是正交基。图示如下:


 在基  下的坐标为  ,其中在基  下的坐标可以通过点积这么来算(对于正交基才可以这么做):



4.5 如何求  基下的坐标


对于:



其中,  是向量,  是正交基,周期  。


所以是正交基,那么根据刚才的分析,可以这么求坐标  上的坐标:



4.6 更一般的


对于我们之前的假设,其中  周期为  :



可以改写为这样:




也就是说向量  是以下正交基的线性组合:



是的,  也是基。


那么可以得到:




 也可以通过点积来表示,最终我们得到:



其中:




5 傅立叶级数的另外一种表现形式

根据欧拉公式:



我们可以推出:



根据上式,我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式:



其中:



解读一下:

对于复数函数,定义的点积为:



其中,  为复数函数,  是  的共轭,所以  的代数表达式中有一个负号。


顺便说一下,这样定义点积是为了保证:



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