此前在另外一篇文章尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。 1 对周期函数进行分解的猜想 拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示,比如下图中,黑色的斜线就是周期为 的函数,而红色的曲线是三角函数之和,可以看出两者确实近似: 而另外一位数学家: 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 -1830)猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。 2 分解的思路 假设 是周期为 的函数,傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和,使之等于 ? 2.1 常数项 对于 这样的常数函数: 根据周期函数的定义,常数函数是周期函数,周期为任意实数。 所以,分解里面得有一个常数项。 2.2 通过 进行分解 首先, 是周期函数,进行合理的加减组合,结果可以是周期函数。 其次,它们的微分和积分都很简单。 然后, 是奇函数,即: 从图像上也可以看出, 关于原点对称,是奇函数: 而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数,即: 其中, 表示奇函数。 而 是偶函数,即: 从图像上也可以看出, 关于 轴对称,是偶函数: 同样的,偶函数与偶函数加减只能得到偶函数,即: 其中, 表示偶函数。 但是任意函数可以分解和奇偶函数之和: 所以同时需要 。 2.3 保证组合出来周期为 之前说了, 是周期为 的函数,我们怎么保证组合出来的函数周期依然为 呢? 比如下面这个函数的周期为 : 很显然, 的周期也是 : 很显然, 的周期都是 : 更一般的,如果 的周期为 ,那么: 这些函数的周期都为 。 将这些函数进行加减,就保证了得到的函数的周期也为 。 2.4 调整振幅 现在我们有一堆周期为 的函数了,比如说 : 通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数,比如 看起来处处都比目标函数低一些: 把它的振幅增加一倍: 有的地方超出去了,从周期为 的函数中选择一个,减去一点: 调整振幅,加加减减,我们可以慢慢接近目标函数: 2.5 小结 综上,构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子: 这样就符合之前的分析:
之前的分析还比较简单,后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数: 直接不好确定,要迂回一下,先稍微介绍一下什么是: ? 3.1 看到复数也不要怕,根据之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式,看到类似于 这种就应该想到复平面上的一个夹角为 的向量: 那么当 不再是常数,而是代表时间的变量 的时候: 随着时间 的流逝,从0开始增长,这个向量就会旋转起来, 秒会旋转一圈,也就是 : 3.2 通过 表示 根据欧拉公式,有: 所以,在时间 轴上,把 向量的虚部(也就是纵坐标)记录下来,得到的就是 : 代数上用 表示虚部: 在时间 轴上,把 向量的虚部记录下来,得到的就是 : 如果在时间 轴上,把 的实部(横坐标)记录下来,得到的就是 的曲线: 代数上用 表示实部: 在 的图像中,可以观察到旋转的频率,所以称为频域;而在 中可以看到流逝的时间,所以称为时域: 4 通过频域来求系数 4.1 函数是线性组合 假设有这么个函数: 是一个 的函数: 如果转到频域去,那么它们是下面这个复数函数的虚部: 先看看 ,其中 是常数,很显然这是两个向量之和: 现在让它们动起来,把 变成流逝的时间 ,那么就变成了旋转的向量和: 很显然,如果把虚部记录下来,就得到 : 4.2 函数向量 前面画了一大堆图,就想说明一个观点, 是向量,并且是旋转的向量。 而根据欧拉公式,有: 从图像上看: 所以 也是向量。 称为函数向量,并且函数向量的点积是这么定义的: 其中, 是函数向量, 是 的周期。 关于函数向量,关于函数向量的点积,更严格的讨论可以参考无限维的希尔伯特空间。 4.3 是线性组合 虽然比较仓促,让我们先接受 是函数向量,那么它们的线性组合得到的也是函数向量: 根据刚才的点积的定义有: 根据点积的代数和几何意义(关于点积的几何意义可以参考这篇文章), 说明了,这两个函数向量正交、线性无关,是正交基。 如果写成这样: 可以理解为 在正交基 下的坐标为 。 4.4 如何求正交基的坐标 我们来看个例子,假设: 其中 通过点积: 可知这两个向量正交,是正交基。图示如下: 在基 下的坐标为 ,其中在基 下的坐标可以通过点积这么来算(对于正交基才可以这么做): 4.5 如何求 基下的坐标 对于: 其中, 是向量, 是正交基,周期 。 所以是正交基,那么根据刚才的分析,可以这么求坐标 上的坐标: 4.6 更一般的 对于我们之前的假设,其中 周期为 : 可以改写为这样: 也就是说向量 是以下正交基的线性组合: 是的, 也是基。 那么可以得到: 也可以通过点积来表示,最终我们得到: 其中: 5 傅立叶级数的另外一种表现形式 根据欧拉公式: 我们可以推出: 根据上式,我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式: 其中: 解读一下: 对于复数函数,定义的点积为: 其中, 为复数函数, 是 的共轭,所以 的代数表达式中有一个负号。 顺便说一下,这样定义点积是为了保证: |
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