【原】从三角函数开始Ⅰ——傅里叶级数

曲线总是给人一种动感的美……

傅里叶变换是一种重要的方法。它不但能用于解决数学问题，还是力学、声学、电子学及信号分析等领域中描述许多重要物理现象的基础。之后的一系列文章中，我们将对傅里叶变换及其应用作一简单介绍。

1 傅里叶级数

如同我们较为熟悉的泰勒展开一样，傅里叶级数也是一种函数展开。本节将先对傅里叶级数作一简单介绍。

1.1 傅里叶级数的基本原理

将一个函数傅里叶展开时，我们选取的基底函数是，，，，，，，，。与泰勒级数不同的是，在傅里叶级数中，基底函数是正交的，即

因此我们说，傅里叶级数其实是一种正交分解。求系数的过程其实是在计算目标函数在三角函数这种基底上的坐标。

1.2 周期函数的傅里叶级数

一个傅里叶级数在一般情况下可以表示为其中，、和是展开系数。假定一个周期为的函数，，能按式()展开。现在来求展开系数，其关键便是利用基底的正交性。对式()两边乘上基底，并在上积分，即可求出对应的展开系数。

式()两边同乘再积分有

这样

式()两边同乘再积分有

这样

同理，式()两边同乘再积分可得

以上几式中我们积分区间均选了，事实上由于被积函数以为周期，积分范围可以选择任何一个宽为的区间。

本小节最后我们再说一下傅里叶级数的收敛条件，即狄利克雷定理。

假定

1. 在内除了有限个点外有定义且单值；

2. 在外是周期函数，周期为；

3. 和在内分段连续,

则傅里叶级数收敛于

对于周期为而非的周期函数，式()转化为

相同方法可求出展开系数

1.3 半幅傅里叶级数

上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数，但是在许多实际问题中，函数很可能根本就不是周期函数。假设函数是定义在有限区间上的任意分段光滑函数，则有正弦函数展开式其中展开系数为

及余弦函数展开式

其中展开系数为

上面几式只是半幅傅里叶变换公式的写法之一，实际上根据边界条件的不同还有着其他形式的写法，在此不再赘述。

1.4傅里叶积分

上节我们讨论的函数定义在有限区间上，而更多的函数是定义在上，且不为周期函数的。本节我们将傅里叶级数扩展到连续变化的情形，即傅里叶积分。

1.2节末尾我们给出了周期为的函数的傅里叶级数

其中，系数、和由式(14)(15)(16)确定。要将这样的一个周期函数转变为一个定义在的非周期函数，最简单的思路是取，并且假设变换所得函数绝对可积。

此时，利用绝对可积的性质

令，则

在时，将化为微元，求和转变为积分。故

同理可得

综合式(23)(25)(26)，式(22)即化为

其中