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《傅里叶级数基本概念及其收敛性》内容小结、题型与典型题

2020-10-09  考研竞赛...


、傅里叶级数相关的基本概念

设有两列实数{ak}{bk},称形如

的函数项级数为三角级数,称{ak}{bk}为此三角级数的系数.该三角级数由下列三角函数系组成

该三角函数系的函数都为周期为2π的周期函数. 在一个周期内,该三角函数系具有所谓的正交性:在一个周期上,除1外,两个相同函数的乘积的定积分为π;两个不同函数的定积分为0.

其中n,k均为非负整数.

【注】以上结果可以直接应用于相应三角函数积分的计算.

二、周期为的函数的傅里叶级数展开

第一步:计算傅里叶系数

根据周期函数的定积分性质,由以下公式计算函数f(x)任意区间长度为2π的区间上的定积分.一般取为直接定义函数的一个周期区间。常取为[-π, π],即

第二步:以傅里叶系数为系数,写出三角级数

【注1在将函数展开为傅里叶级数时,最好先画出其图形,这样容易看出其奇偶性及间断点,从而便于计算系数和写出收敛域.

【注2在计算傅里叶系数时,一般对于n=0单独计算,如果在使用通用公式计算的过程中,通项公式中有n值使得通项公式无意义,则对于这样的n值对应的系数也应该单独计算.

第三步:基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性

狄利克雷收敛定理:如果周期为2π的周期函数f(x)在一个周期上分段连续,并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点,则函数f(x)的傅立叶级数收敛,并且有

其中f(x+0)f(x-0)分别为函数f(x)在点x处的右极限与左极限.即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身S(x)=f(x);在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值.

第四步:函数展开成傅里叶级数

依据定理得到和函数等于被展开函数f(x)的集合I,最终写出附带集合I的等式

【注1在收敛于f(x)的点,称函数f(x)可以展开成傅里叶级数,即有

所以将函数展开成傅里叶级数必须是等式并且附带连续点描述的集合

【注2特别注意对应傅里叶级数的和函数与被展开函数的区别与联系

【注3傅立叶级数的部分和有很好的整体逼近性质,幂级数的局部逼近性质比较好.幂级数展开需要函数有很好的光滑性,傅里叶级数对光滑性的要求较低.

【注4如果函数为奇函数,则函数的傅里叶级数仅仅包含正弦项,则这样傅里叶级数称之为正弦级数,此时只需要计算傅里叶级数的系数bn(1,2,);如果函数为偶函数,则函数的傅里叶级数仅仅包含余弦项和常数项,则这样傅里叶级数称之为余弦级数,此时只需要计算傅里叶级数系数an(0,1,2,).

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