[第15集] 傅里叶级数简介

本节课学习了

• 什么是傅立叶级数

• 三角函数的正交性

• 如何求 

1 傅立叶级数

前面我们学习了微分方程

并学习了当输入值  为：

等情况怎么来解。

在接下来的学习中，我们会了解更一般性的解的情况。

傅立叶发现：任何周期性函数都能写成正弦函数与余弦函数的级数的形式

如果我们输入的  是周期性函数，只要  不是过于不连续，那么一般都可以写作：

根据前面几课的知识，我们可以分别求解：

因为微分方程是线性的，所以  的解为：

2 三角函数的正交性

如果，周期性函数  ，满足(以周期为  为例)：

我们就说  满足正交性。

对于  ，有：

所以，我们可以说：

满足正交性。

更深层次点的原因，  都是微分方程：

的解。这个微分方程的解之间都满足正交关系（当然  这个条件是要满足的）。

教授虽然貌似给出了证明过程，但是关键步骤并未予以证明，暂时我们可以当作结论来接受。

3 求 

根据傅立叶级数有：

展开即为：

等式两边同时乘以 

两边同时积分：

除了  外，其余项都为0，所以：

同样的方法，可以求得：

我们直接对  求积分可以得到：

4 总结

• 什么是傅立叶级数：指所有的周期函数都能写成正弦函数和余弦函数的级数。

• 三角函数的正交性：积分为0。

• 利用积分的方法，求