傅里叶级数推导

一、傅里叶级数说明

• 1.傅里叶级数
  傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期性函数的方法

系数 可以通过函数f(t)在一个周期内的积分来计算。 需要满足狄利克雷条件条件： （1）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的。

• 2.争议性 数学、物理学里很多定理都是通过公式推导得来的，而傅里叶级数原理确实傅里叶假想出来的（傅里叶在做热传导计算时提出），这个定理特殊处在于它无法正向去推导，而是先提出定理再去证明和应用。 大概时间线是这样的： 傅里叶任命助教，协助拉格朗日进行数学教学工作； 傅里叶在《热的传播》中提出：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成； 拉普拉斯等人赞同此文章，但拉格朗日强烈反对； 傅里叶发表《热的解析理论》，提出傅里叶级数； 狄利克雷傅里叶级数收敛的充分条件，即狄利克雷条件；

自始至终，拉格朗日认为正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，而傅里叶级数表明可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别。

• 3.关于本文 本文主要是求解相关系数，并不能正向证明如何得到傅里叶级数，毕竟大佬们争议如此久的话题岂是我等能考虑的。

二、提前准备

• 1.泰勒级数
  任意一个函数都可以用一个多项式来逼近：

• 2.麦克劳林待定系数法
  在泰勒级数基础上，依次对等式左右两边求n阶导数，然后令x=0，即可求得系数A、B、C...

...

...

• 3.三角函数的正交性
  一个三角函数系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零。 举例证明：

当k不等于n时：

注意第3个式子中k是可以和n想等的！

推导①：

推导②：

其他公式同理。

• 4.常数定积分原理

三、傅里叶级数解推导

• 1.神奇的三角函数 由于物体的振动可以用三角函数来表示：

其中分别表示振幅、角频率、初相位。

• 2.傅里叶猜想 傅里叶引入猜想：任意周期函数都可以表示成许多的三角函数线性叠加（猜想来源貌似是解热方程和振动方程），即：

其中、、、都是常数，即对任意周期函数f(t)而言，可以分解乘很多个三角函数线性叠加，这些三角函数有一个基准角频率（n=1），其他的三角函数角频率依次是的整数（也就是我们现在熟知的谐波）
根据三角函数展开，得到：

令

故

由于此时的这个公式只是猜想的，方程中只有f(t)是已知的，而、、是未知的，想要公式成立，只需要

证明、、可以由已知的f(t)来表示

• 3.傅里叶级数证明
  对两边进行的积分：

根据三角函数的正交性，得到：

根据常数定积分原理，得到：

故：

对两边乘以（其中k=n）：

展开累加项得到：

两边进行的积分：

根据三角函数的正交性，得到：

故：

同理对两边乘以（其中k=n）, 然后两边进行的积分，得到：

综上：

其中：