傅里叶：一首伟大的数学诗(上)

大学毕业多年，你可能会忘记你曾经交往过的女朋友的名字，但是有一个人的名字，我相信你一定不会忘记，尤其是对于理工科的学生，这个名字带给你的感受甚至比你谈一场轰轰烈烈的恋爱都要来得更加“刻骨铭心”！这个人就是大名鼎鼎的傅里叶，以他命名的傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换和傅里叶分析等数学概念和工具，频繁出没在理工科专业的课程中，让无数人苦不堪言、生不如死，甚至形成了长期的心里阴影和恐惧。对于通信专业的童鞋，傅里叶这三个字甚至已经可以跟噩梦划等号了！

因为接下来要写一点关于量子力学的文章，我最近不得不再次重新学习傅里叶级数和傅里叶变换的内容。经过了一番粗浅的温习之后，我非常同情通信专业的童鞋们，原来你们受的苦这么大！(在此心疼你们几秒)

如果你对傅里叶这三个字没印象，我在这里先不识好歹地帮你回忆回忆。

傅里叶级数：
傅里叶变换：
傅里叶逆变换： 咋一看上面几个式子，可能傅里叶级数这个还算勉强可以看懂，不就是三角函数的无穷和嘛，但是下面那两个就足够面目狰狞了，它们不仅都是区间无限的广义积分，而且被积函数里面竟然还有虚数单位i，这样积出来的结果是个什么鬼？ 

上面那些个玩意是不是看起来很讨厌，我也很讨厌，我现在最恨的就是那些不交代背景，然后从天而降一堆丑不拉几的公式、定理、概念和定义，看着就恶心！如果你以前是工科专业的，那你第一次接触傅里叶级数的时候，可能是教材一上来就直接给出傅里叶级数这个公式和结论，完全不care历史背景，这难免让人感到非常地突兀和不自然。然后为了套公式做题，你不得不死记硬背这些公式，而且时间久了之后，你就忘得干干净净了！

我今天写这篇文章，当然不想像有些教材那样简单粗暴、直奔主题。我会沿着傅里叶本人的思路着重叙述傅里叶级数的诞生过程，让你体会一下傅里叶是如何发现这个伟大的思想的。同时，我也会阐述一下傅里叶级数和傅里叶变换的数学内涵，以及它们的物理意义。由于文章太长，我把它分成上下篇，本篇是上篇。

既然我们要谈的是傅里叶级数和傅里叶变换，那就不得不先来了解一下提出这些思想的本尊——傅里叶，也有翻译成“傅立叶”的，我们这里就用“傅里叶”这个比较常见的中译名称。

1 坎坷而又传奇的一生

傅里叶(Fourier)全名是让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，1768年3月21日出生于法国中部欧塞尔的一个平民家庭，他的父亲是一个裁缝，母亲是一个家庭主妇。傅里叶童年的生活不仅非常困苦，而且还非常不幸，在他9岁的时候，他的父母亲同时生病去世，小小年纪的他便成了一个孤儿。

傅里叶

当地的一家主教看他非常可怜，便好心收养了他，然后送他到教会的学校就读。在学校期间，傅里叶就表现出对数学的特殊爱好和才华，他的数学成绩非常出色，几乎考试都是个满分。在他十二岁的时候，傅里叶转到镇上的军校就读，并立志于当炮兵或者工程兵，但是，他的这个当兵理想却因自己出身卑微而遭到无情地拒绝。

再后来，傅里叶开始重新思考和规划自己的未来，正当他犹豫到底是追随自己的兴趣搞数学研究还是当个神职人员捧金饭碗的时候，1789年，法国大革命爆发了，傅里叶犹豫了很久的各种计划也因此被中断了。无奈之下，傅里叶只能回到家乡欧塞尔，并在母校当起了老师。

在大革命期间，傅里叶以热心地方事务而知名，而且是一个非常有正义感的人。他曾因替当时恐怖行为的受害者申辩，结果因此被捕入狱。出狱后，他被家乡人民集体推荐去上大学，随后成功进入由雅各宾派筹备建立的巴黎高等师范大学，成为该校的第一批学生，并因自己出色的数学才华给人留下了深刻的印象。但是，仅仅过了4个多月，刚成立的巴黎高等师范大学就因为雅各宾派的倒台而关门大吉。傅里叶在蒙日的帮助下，成功转到1795年成立的黎综合工科学校直接当起了助教，协助拉格朗日和蒙日的教学工作。两年之后，29岁的傅里叶当上了教授。

拉格朗日 （左） 蒙日（右）

正当傅里叶准备在数学领域大展拳脚的时候，又来事了。拿破仑这个军事天才，精通数学和天文学，并且对科学家非常重视，决定要出兵远征埃及，而且还要带上一些科学家，傅里叶很“荣幸”地被选中了。1798年，傅里叶随拿破仑远赴埃及。

在开罗，傅里叶担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动，但同时他仍坚持不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究。

1801年，法国在埃及战败之后，傅里叶回到了法国。他本来希望自己能够继续回到巴黎综合工科学校当教授，但是拿破仑很欣赏他的外交能力和行政能力，直接就任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级行政长官，相当于我们现在的省长。而且由于在行政上的工作表现非常突出，1808年拿破仑又授予傅里叶男爵称号。

虽然当了个大官，而且每日公务繁忙，但是，傅里叶仍抑制不住自己内心对数学物理的热爱。所以在业余的时间，傅里叶就继续搞起了科学研究。1807年，傅里叶向巴黎科学院递交了一篇论文——《关于热传导的研究报告》，在这篇论文中，傅里叶提出了一个令人震惊的结论：任何一个周期函数都能展开成三角函数的无穷级数。这个级数就是我们现在所说的傅里叶级数。傅里叶这个结论有多令人震惊，我这里先举个例子给你们看一下，比如下面这个不连续的周期函数：

图片来源:https://www./madocs/619/

显然这个函数不是一个处处连续光滑的函数，因为在  的奇数倍的地方，函数是间断的，所以这些地方是不连续和不可导的。但是，傅里叶说，不管这个函数如何跳跃，如何古怪，它一样可以展开为三角函数的无穷级数，即可以表示成无穷多个具有不同振幅、不同相位和频率等于基频整数倍的正弦函数或余弦函数的和。

动图来源:https://www./madocs/619/

但是，傅里叶的这篇论文经法国史上最伟大的3L(Lagrange、Laplace、Legendre)——拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审之后被拒绝了。因为傅里叶所提出来的傅里叶级数与拉格朗日自己在18世纪50年代处理弦振动问题时对三角级数的否定相矛盾，所以遭到拉格朗日的反对。拉格朗日以缺乏数学严密性为由拒绝傅里叶这篇论文的发表。

虽然傅里叶的论文未能发表，法国科学院审查委员会还是继续鼓励傅里叶钻研，将结果严格化，而且还决定把热传导问题定为1812年度的科学大奖课题进行悬赏征文。

为了继续完成关于热传导问题的研究，傅里叶在1811年提交了修改过的论文，并参加法国科学院1812年度科学大奖的角逐。傅里叶在这次角逐中毫无悬念地赢得了1812年度科学大奖的奖金。(你可别小看这个奖哦，这一奖项表彰的是对科学、数学和技术问题的创新性解决方法，含金量堪比现在的诺贝尔奖。)

虽然傅里叶是获奖了，但是这次的审阅人仍然是朗格朗日等人。拉格朗日再一次坚持了他原来的批评意见，认为傅里叶这篇修改后的论文仍然缺乏严格性和普遍性，这使得傅里叶的新论文又一次无法发表在当时的科学院的《报告》里面。傅里叶对他所受到的不公待遇感到非常愤恨。于是，他决定沉下心来继续对热的课题进行更加深入地研究，并把之前的论文铺开来写成专著。

拉格朗日对傅里叶关于数学严格性的批评，代表了纯数学家和数学物理学家之间的一个基本区别，这是很有意思的。纯数学家所能用的唯一武器，是精确严格的证明。除非所引证的定理能够经得起它的时代所能提出的最严格的批评，否则纯数学家们是几乎不会接受它的。但是，面对无限复杂的客观世界，应用数学家和数学物理学家们心里非常清楚，我们不可能找到任何简单到人类都能够理解的数学理论去完全描述客观世界。而且他们对于这一点不会感到任何惋惜，因为他们更在乎的是物质宇宙本身，而不是苛刻到变态的数学严格性。

在夺得科学大奖之后，几经宦海浮沉，1815年，傅里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究。但是，失业、贫困以及政治名声的落潮，使得这时的傅里叶处于一生中最艰难的时期。后来，在昔日的同事和学生的关怀下，傅里叶谋得了统计局主管之职。这份工作不繁重，足以为生，使得傅里叶能够继续从事研究工作。

终于在1822 年，傅里叶发表了数学物理史上最著名、最经典的划时代名著之一——《热的解析理论》。

在这部专著中，傅里叶编入了他1807和1811年关于热传导论文的全部内容，而且几乎未作任何改动。之前批评他严密性不足的那些问题，在固执的傅里叶看来，纯属针对他个人的偏见。

后来为了处理无穷区域的热传导问题，傅里叶又导出了我们现在所称的傅里叶变换，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。

然而傅里叶的工作意义远不止此，他迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更是刺激了集合论的诞生。

在发表了《热的解析理论》的同一年，傅里叶被选为科学院的终身秘书，这是极有权力的职位。1827年，傅里叶又被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员。

傅里叶一生为人正直，他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和真挚的鼓励，从而得到他们的忠诚爱戴，并成为他们的至交好友。在他帮助过的科学家中，有知名的狄利克雷(Dirichlet)和阿贝尔(Abel)等人。

但也有一件令人遗憾至极的事，就是傅里叶收到伽罗瓦(Galois)的关于群论的论文时，他已病情严重而未阅，以致论文手稿失去下落。后来的事大家都知道了，伽罗瓦对自己多次提交论文无果而感到非常失望和愤怒，并在一次愚蠢的决斗中付出了自己年仅21岁的生命。这是数学界巨大的损失，他可是伽罗瓦啊，史上最具天才的数学家之一。伽罗瓦的故事这里就不再展开，以后学完群论之后有机会再单独写一篇文章。

1830年，傅里叶因为心脏病(也有人说是动脉瘤)去世，享年62岁。关于他的去世原因，也有一个民间说法，说是由于傅里叶极度痴迷热学，他认为热能包治百病，于是在1830年的一个夏天，他关上了家中的门窗，穿上厚厚的衣服，坐在火炉边，然后被活活地热死了！

傅里叶去世后, 法国人以各种样的形式铭记这位伟大的数学物理大师，以表示对他的尊敬和纪念。

比如，20世纪之后，法国建立了一所以傅里叶名字命名的大学。

约瑟夫・傅立叶大学

在他的家乡欧塞尔伯爵宫墙壁上，也镶嵌有傅里叶的雕像。

埃菲尔铁塔上的72个学者之中，也有傅里叶的一席之地。

埃菲尔铁塔上刻有傅里叶的名字

还有一条以傅里叶命名的街道，等等等等。

傅里叶街

纵观傅里叶一生的学术成就，他最突出的贡献就是他对热传导问题的研究和新的普遍性数学方法的创造，这就为数学物理学的前进开辟了广阔的道路，极大地推动了应用数学的发展，从而也有力地推动了物理学的发展。我国数学家、微分方程方面的专家申又枨教授曾经说：“傅里叶的创造，是给各种类型的偏微分方程 (波动方程、扩散方程、拉普拉斯方程等) 提供了一种统一的求解方法，就好比从前在算术中解 “四则问题”时各种难题有各种解法，而运用代数方程以后，就有了统一的简便的解法。”这个比喻，很好地形容出傅里叶的方法在微分方程领域的重要意义和广泛的实用价值。傅里叶级数的提出，大大拓宽了人们对函数的认识。

1854 年, 黎曼在讨论傅里叶级数的文章中第一次阐述了现代数学通用的积分定义。1861 年，魏尔斯特拉斯正是运用三角级数构造出处处连续而处处不可微的病态函数。正是从傅里叶级数提出来的许多问题直接引导狄利克雷、黎曼、斯托克斯以及从海涅直至康托尔、勒贝格等人在实变分析的各个方面获得了卓越的研究成果，并且导致一些新的数学分支，如泛函分析, 集合论等分支的建立。傅里叶的工作对纯数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且，这种影响至今还在发展之中。

当然，傅里叶一生的成就不仅仅只局限于与傅里叶级数相关的热力学与微分方程，他对方程论也有很广泛的研究，他也是最早使用定积分符号  的人，他甚至是温室效应的发现者。这一系列成就也使得傅里叶在数学史上能与拉普拉斯，勒让德等人齐名。

傅里叶一生坚信数学是解决实际问题的最卓越的工具，他认为： “对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉”。这一见解是傅里叶从事学术研究的指导性观点。傅里叶的研究成果又是表现数学美的典型，傅里叶级数犹同用数学语言谱写的一首长诗。著名物理学家麦克斯韦曾把《热的解析理论》称为“一首伟大的数学诗”。开尔文勋爵不但称之为 “数学的诗”, 而且宣称他自己在数学物理中的全部生涯都受到了这部著作的影响。

那么，傅里叶这首伟大的数学诗是怎么创作出来的呢？

2 伟大诗篇诞生之路

傅里叶是怎么提出“任何一个周期函数都能展开成三角函数的无穷级数”这个思想的？他怎么就那么自信地认为任何一个周期函数都能展开成三角函数的无穷级数？下面我们就来看一下傅里叶提出这个思想的思考过程。(这里提醒一下：下面的内容会涉及很多数学公式，如果你发现公式显示不完整，请在公式所在的区域左右滑动即可看到完整的公式)

有意思的是，傅里叶并不是直接从数学上提出这个思想的，而是在研究热传导这个物理问题的时候提出来的。我们都知道，在吸收或释放热的物体内部，温度分布一般是不均匀的，每一个点的温度都可能不一样，而且在任何点上的温度都会随着时间而变化。所以温度T是空间和时间的函数，其函数的准确形式依赖于物体的形状、密度、材料的比热，以及初始时刻的温度分布(即在时刻t=0时物体温度T的初始分布)。

傅里叶根据物理原理和实验建立了在均匀和各向同性的物体内，温度T所满足的一个偏微分方程： 

这个方程叫做三维空间中的热传导方程。其中，  是一个常数，其值依赖于物体的质料，  是空间坐标  和时间  的函数。

傅里叶当时解决了特殊情况下的热传导问题，即一维空间的热传导问题。因为在一维的情况下热传导方程具有非常简单的形式： 

为了直观地理解这个方程的含义，我们想象一下，有一根又长又细的圆柱形铁棒在铁匠的锻炉里被不均匀地加热，它的周身散布着一些热点和冷点。假设铁棒外面有一个完全隔热的套筒，使得它与外界没有热交换，这样热量就不会散失了。在这种情况下，根据热能自发地从较高的温度传到较低的温度的原理，即热力学第二定律，铁棒上热流动的唯一途径是沿着铁棒的长度方向从热点扩散到冷点。这个热传导方程(2.2)式描述的就是铁棒上任何一点的温度随时间的变化规律，并且也告诉了我们，正是温度在空间上的曲率导致了时间上的变化率。如果用图把这个方程的解画出来，它就是一个二维平面上方的曲面：

图片来源：bilibili up主：3Blue1Brown

可是这个热传导方程是怎么得出来的呢？这里我只简单说一下基本的思路。

傅里叶发现铁棒上任何一点的温度随时间的变化率是由与它相邻点的平均温度的大小关系决定的，如果相邻点平均温度比它的温度高，那么它的温度就会升高，而且如果相邻点平均温度比它的温度高出很多，那么它的升温速度就会更快，反之亦然；当相邻两点的平均温度与它的温度相等时，那么它的温度就与相邻点达到热平衡而保持不变。总之，铁棒上每一点的温度都会趋向于相邻两点的平均值。

比如，我们假设铁棒上的热源都是离散的，若某一点  的温度为  ，与它相邻的两个点  和  的温度分别为  和  ，那么当  ,  就会升温，反之降温。而当   时，   温度保持不变。

图片来源：bilibili up主：3Blue1Brown

这个规律可以用如下的数学语言表述： 这个离散版本的情形通过一个极限过程就可以过渡到连续版本的方程，也就是上面的热传导方程(2.2)式。  

你可能会有疑问，为什么铁棒上任何一点的温度随时间的变化率是由与它相邻点的平均温度的大小关系决定的？我们可以这样来直观地理解，任何一点与相邻两点互相之间存在热流动，温度大的相邻点会拉升这个点的温度，同时温度小的相邻点会拉低这个点的温度，当两个相邻点的热流共同扩散到这个点时，两股热流的较量结果就决定了该点的温度变化，若拉高的温度值等于拉低的温度值，即  ，说明相邻的两股热流的较量结果达到一个热平衡，  的温度就保持不变。同理，当较量结果打破热平衡时，  的温度变化就会倒向较量胜出的那一方。

有了热传导方程之后，接下来傅里叶面临的最重要的任务就是求解温度  关于  和  的具体函数形式，也就是说： 

但是，对于偏微分方程的求解，如果我们仅仅只有上面那个热传导方程(2.2)是，那我们将不可能得到一个具体的方程解  。因为如果没有其他条件的限制，那么满足热传导方程的解将会有无穷多个。比如，如果我们已经知道有一个解  满足热传导方程，那么这个解加上任意常数(  )或者乘以任意常数(  )之后也是方程的解，你可以自己代入到热传导方程试试。所以，为了求解出温度  ，我们还需要这个  在初始时刻所满足的初始条件，以及边界点所满足的边界条件，这两个条件和热传导方程结合起来之后求解得到的解就是满足初始条件和边界条件的方程解。

在解微分方程中，初始条件和边界条件的重要性丝毫不亚于方程本身，如果没有初始条件和边界条件，我们不可能得到有意义的具体的方程解。

傅里叶在求解热传导方程的时候，考虑了一种典型的情况，即一根长度为  的铁棒的两端绝热无热流通过，两端的温度保持在0度。另外，他还假定在初始时刻t=0时，铁棒上各点的温度分布函数是一个已知的给定的函数  。也就是说，他求解热传导方程的初始条件和边界条件如下： 

初始条件：
这里的  是某个已给定的温度分布函数，它描述了在初始时刻铁棒各点的温度值。

边界条件： 这个边界条件的意思就是铁棒两端的温度与外界绝热，在任意时刻都保持为0度。

有了这两个条件之后，傅里叶用了一种称之为分离变量的方法求解热传导方程。

首先，他令： (学过量子力学的同学会不会对这个方法有一种似曾相似的感觉，定态薛定谔方程的即视感有木有? )

其中，  只是空间  的函数，不含有时间  。同样，  只是时间  的函数，不含有空间  。

把分离变量之后的温度函数，即2.5式代入一维空间的热传导方程2.2式之后，简单整理一下即可得到如下的结果： 仔细观察这个等式，不难发现，左边是仅仅含有空间  的式子，右边是仅仅含有时间  的式子，要使得这两个式子对于任意的  和  都能够相等，当且仅当左右边两边都为同一个常数。

不妨假设这个常数为  ，即： 整理得到两个含有常数  的常微分方程：  这两个常微分方程是很容易求解的。其中，方程(2.7)的通解为： 其中，  和  均为积分常数。

根据边界条件2.4式，可以得到： 这个等式对于任意的  都成立，因此只能有  ，所以  。当然，如果  的话，也能使得上式成立，但如果这样的话， 就有 和  ，这显然意义不大，因为铁棒的温度都是恒定不变等于0，我们还怎么研究它随时间的变化规律，没意义！

同样地，根据另外一个边界条件可以得到：  要使得这个等式也对于任意的  都成立，则有： 从而：   其中，  为整数。 

所以常数  有无穷多个与整数  有关的解，我们记为： 可能你会觉得奇怪，为什么同样是求解满足  的  ，对于上面的  ，你怎么只取  一个解，而下面那个  的方程，你却取了包含所有整数的解。其实，上面那个  的包含整数的解都合并到那个  里面了。因为如果  的解也取包含整数的解，比如  (  为整数)，那么边界条件 就变成  ，这时候就有  ，所以就有：  ，这里的  和  都是整数，所以  也是取遍所有整数，那么结果跟  (  是整数)就一样了。既然最终结果都一样，那么我们先取  也无妨，因为最终  的表达式都是(2.10)式的形式。

所以，既然常数  有无穷多个解，那相应的，函数  的形式也有无穷多个，并且也与整数  有关，我们记为  ，结合2.9式和2.10式，可得： 

常数  在这里也相应地记为  ， 因为 有无穷多个解，相应的常数  也有无穷多个，所以我们应该将它记为更一般的形式  。

现在再来求解方程2.8。很显然，这个方程的通解就是指数形式： 其中，  为积分常数。

把2.11式、2.12式和2.5式结合起来，我们就可以得到分离变量条件下的温度函数的具体形式： 这个解的形式中还有两个未知的量，  和  ，两个都是常数，为了简单起见，我们干脆把它们都合并为一个常数，并继续记为  ，这样(2.13)式就可以写成：   为整数。

但是，我们上面这样解出来的  是建立在  可以进行分离变量的基础上的(2.5式)，也就是说，如果  可以分离变量，那么热传导方程2.2式的解就是上面的2.14式，这个操作相当于是给解方程增加了限制条件，所以实际求出来的解仅仅是所有解中的一部分，而不是全部的解。

这个时候，傅里叶提出一个重要的论断，他说由于热传导方程式线性的，所以分离变量解的所有线性组合也是方程的解。

举个例子，假设现在我们已经得到了热传导方程的两个解  和  ，那么这两个解的线性组合  也是方程的解，因为导数这个运算具有线性性。我们把  代入热传导方程2.2左右两边即可验证。

先看左边： 这里由于我们假设  和   都是热传导方程的结果，所以有： 所以方程左边得到的结果就是上面的形式。 

再看右边： 对比左右两边的结果即可得到：  和  这两个解的线性组合  也是热传导方程的解。

基于热传导方程的这个性质，傅里叶认为在分离变量条件下得到的解  的线性组合仍然是方程的解。故他断言，热传导方程的完全解为： 其中  为任意的常数。

类似上述的方法，我们可以把两个常数(上式中的  和  )合并为一个常数，并继续记为   。所以，热传导方程的完全解形式就可以表示为： 这个解的形式中还含有一个未知的常数  。为了求解  ，傅里叶根据前面假设的初始条件： 把t=0代入到2.15式之后得到： 这时候傅里叶面临这样的一个问题：由于初始条件给定的  是任意一个有限区间内( )的已知函数，那么上面的结果是否意味着任何一个有限区间内的函数  都可以表示成一个三角函数的无穷级数？如果可以，那么这个 能确定吗？

傅里叶的这个问题看似很自然，实际上需要非常大的勇气和非凡的洞察力，这是他向伟大进击的第一步。

为了回答这个问题，傅里叶采用了一些非常复杂且不太严密的方法。这里只简单说一下，不再详细赘述。首先，为了简单起见，傅里叶假设  ,并把2.16式中的正弦函数都展开成麦克劳林幂级数，然后交换求和次序得到  的一种幂级数形式，再跟  直接展开成麦克劳林幂级数的系数进行比较之后，得到： 

现在  的各阶导数是已知的, 因为  是已给的一个初始条件。所以    是无穷线性代数方程组里的未知数的一个无穷集合。也就是说，傅里叶把关于  求解的问题转化为求解一个无穷线性代数方程组的问题。然而，求解无穷线性代数方程组是一件极其困难的事，傅里叶对几个不同的  ，用非常复杂、包含这发散表达式的程序说明了如何确定  。傅里叶在求解无穷线性方程组的过程复杂到什么程度，我截一点他在《热的解析理论》中的推导过程给你们感受感受：

这个推导过程足足用了10页纸左右的篇幅。傅里叶用他近乎变态级的分析和计算能力得到了  的表达式，但是这个表达式却含有无穷乘积和无穷和的形式，他觉得这个表达式没有什么作用。最终，他经过更为大胆和富有创造性的方法——三角函数正交性(后面我们会详细解释)，得到了  的表达式：

这是一个伟大的积分公式。

紧接着，傅里叶又作出了一个非常重要的论断。他注意到上面2.17式中的每一个  都可以解释为  取值从0到  时, 曲线 下方的面积，这是定积分的几何意义。而且这样一个面积即使对很随意的函数  都是有意义的。函数  不必是连续的, 它可以是带有棱角的形状，也可以是跳跃的、间断的，因为即便如此，曲线积分也是存在的、有意义的，这一点从直观的几何图形上就可以断定。

所以，傅里叶认为他求解出来的  是存在的、有意义的，这也就是说，他原来提出的那个问题：任何一个有限区间上的函数  都可以表示成一个三角函数的无穷级数吗？

答案是肯定的。因为他找到了三角级数的系数  的具体表达式(也就是2.17式)，使得任意函数  都可以表示成一个三角函数的无穷级数。因此，傅里叶下结论说，每一个有限区间的函数都可以表示为： 

其中： 傅里叶在得到系数  的过程中用了正弦函数在一个周期上的积分性质。为了得到其中某个系数，比如  ，傅里叶用  同时乘2.18式的两边，然后对  从0到  进行定积分，即： 为了避免符号混乱，上式右边用了  作为求和指标，这样并不会改变结果。仔细观察不难发现，右边中的每一项，当  时，其积分结果为： 

这个结果称为三角函数的正交性，是三角函数非常重要的一个性质之一。

而当  的时候，积分： 所以，我们得到另一个非常重要的关于三角函数的性质： 这个叫三角函数的归一性，后面我们会详细谈到。

因此，当我们用  同时乘2.18式的两边并从0到  进行积分之后，右边就只剩下一项不为0的，其他每一项都等于0，结果就等于： 整理一下即可得到： 这就是傅里叶所得到的三角级数的系数  的表达式。

你可能会对这个表达式感到很奇怪，我们本来是想求  的三角级数表达式，怎么最终得出来的系数还包含了  与正弦函数  乘积的定积分值？

实际上，这个  是已经给定的已知条件，它跟一个具体的正弦函数的乘积的结果也是确定的，它们乘积的定积分的结果也是存在和确定的。所以，系数  当然也是一个具体的、确定的值，只不过是用定积分的形式给出。

正因为傅里叶得到了系数  ，所以他断言，任何一个函数(实际上是一个有限区间的函数)都可以展开成三角函数的无穷级数。而且，他坚信这个结论不仅适用于连续的函数，还适用于间断的、不连续的函数。傅里叶作出的这个论断不仅仅有数学方面的几何直观，而且还有物理方面的实际意义。

我们举个例子，比如，对上面那个铁棒热传导的模型稍微扩充一下，取两根铁棒，每根铁棒其中一端的温度值维持在0度，但是另一端的温度初始值完全不一样。我们将这两端接在一起，使得两根铁棒合二为一。这时候，整个铁棒两端的温度仍然维持在0度，满足上面热传导模型的边界条件。而对于初始条件，由于衔接端的温度初始值不一样。所以，初始条件的那个温度分布函数  是一个不连续的函数，因为中间衔接处的温度是跳跃的、间断的。但是，尽管如此，这两根合二为一的铁棒仍然会按照热传导方程进行扩散传导，并且它们也都符合傅里叶上面所假定的初始条件和边界条件。所以，这个合二为一的铁棒的热传导方程的解也一定是2.15式所示的形式，并且铁棒初始的温度分布函数  ，尽管是不连续的、间断的，也一定可以展开成2.18式的三角函数级数。例如两根铁棒其中一根初始温度处处为90度，另一根初始温度处处为10度，把它们挨在一起之后，热传导过程就按照方程2.2开始演化了。

动图来源：bilibili up主：3Blue1Brown

虽然两根棒挨在一起之后的整体温度的初始分布函数是跳跃的，而且还是呈方波形状的，但是最终仍然可以通过上述的傅里叶方法得到满足初始条件和边界条件的温度函数，并自然而然地得到跳跃函数可以展开成三角级数的结论。

傅里叶得到了有限区间上的函数  可以展开成正弦函数的无穷级数(2.18式)之后，他进一步假定，  也应该可以展开成余弦函数的无穷级数，因为正弦函数和余弦函数的形状是一样的，只不过其中之一是由另一个平移之后得到的，比如  就是由  向左平移  个单位得到的。所以，傅里叶假设，函数  也可以展开成如下的形式：并利用上面类似的方法，两边同乘一个  积分之后得到系数  的表达式： 其中，   。

这里的2.19式右边最前面为什么还有一个常数项，而且还是  ？答案是必须有常数项，而且写成  之后，所有的   (包括  ) 都可以用上面2.21式统一给出。

事实上，如果我们仅仅假设  可以表示成没有常数项的余弦级数： 那么，当我们对方程两边同时从0到  进行积分之后，左边是一个定积分表示的值，而右边每一项的积分都等于0，最后就得到这样一个结果： 但是，由于  的任意性，这个定积分值可不是恒等于0的哦，所以这是矛盾的。怎么呢？把这个定积分值乘以  之后加到右边就可以保证等式成立，比如： 但是这个常数项  跟上面2.21式还不太一样(差了一个常数2)，为了使2.21式也能统一表示各个系数   ，我们令  =  ，然后把  写成2.20式的形式，这样就美美哒！

得到了  展开成余弦函数级数的结果之后，傅里叶继续他的分析，他把原来  在有限的区间  拓宽到了  ，并考虑拓宽区间后的任意一个  的三角级数表达式。

傅里叶在这里利用了一个结论：任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和。这个结论的证明也非常简单，我们假设  可以表示成：  其中：  是奇函数，  是偶函数。

根据奇偶函数的性质，我们有另外一个表达式：  这时候我们把  和  看成是已知的，并以此联立上面两个等式来求解  和  这两个未知量，相当于求解二元一次方程组： 

 最后我们得到： 紧接着，非常关键的一步，傅里叶把  展开成正弦函数级数(2.18式)，把  展开成余弦函数级数(2.20式)，即： 

其中：  。注意，这个展开实际上是在区间  上的展开结果，因为我们上面得到的展开式(2.18式)都是基于在区间  上推导出来的。

同样的，在区间  上，傅里叶把  展开成余弦函数级数的形式： 其中：   。

由于  在  区间上可以展开成正弦函数级数(2.22式)，且等式两边都是奇函数(因为右边的每一项  都是奇函数)，那么，根据奇函数的性质，在  这个区间上，  可以展开成同样形式的正弦函数级数(2.22式)。也就是说，在整个  区间上，  都可以展开成上面的正弦函数级数，虽然这个展开形式只是在  推导出来的。

同样地，  在整个  区间上也可以展开成余弦函数级数(2.23式)。

现在，在整个  区间上，  就可以展开成三角函数级数： 但是，这里的 两个系数 和‍  ，  仍然是由  和  这两个函数在  这个区间上的定积分值给出的。我们希望把他们转化成由  的在整个  的区间上的定积分值给出，以免出现属于中间过程的函数  和  。

我们先来看一下这个  ，它是这个积分值： 由于  是奇函数，而  也是奇函数，所以两者的乘积  就是一个偶函数，那么根据偶函数关于y轴的对称性，在整个  区间上的定积分值满足：  (注意上面的积分区间的变化)

另外，由于  是偶函数，而  是奇函数，所以两者的乘积  就是一个奇函数，那么根据奇函数关于原点的对称性，在整个  的区间上的定积分值等于0，即有： 把这个式子加到上面的式子，结果不会改变。因为任何一个数加上0之后还是那个数。之所以这样处理，是因为我们想在被积函数里面凑出个  ，这样就能够达成我们的目标。

因此，我们有： 

这样我们就得到用  在整个  的区间上的定积分值所表示的  ，

即： 同样地，  的表达式为： 这个表达式统一包含了  。

这两个积分表达式是傅里叶真正的伟大工作之一。

综上所述，傅里叶得到了：任何一个在  区间上的函数  都可以展开成如下的三角函数级数： 其中： 既然得到了有限区间  上的函数  的三角函数级数形式，如果  是一个以  为周期的周期函数，那么在每一个长度为  的区间上，  的函数值和形状都是重复的，与  的一样。而刚好2.24式右边的每个三角函数的共同的最小周期是  ，所以它们的级数和，也就是等式的右边也是一个周期为  的周期函数。所以，任何一个以  为周期的函数  都可以表示成三角函数级数(2.24式)，等式左右两边都是周期为  的周期函数。

有了上面周期为  的结论之后，我们很自然地就可以推广到任意周期为T的函数。道理也很简单，如果函数 是周期为T的周期函数，我们令： 则可以把函数  变换成以  为周期的关于t的周期函数  ：

这时候  就可以按照上面2.24式进行展开： 其中： 现在我们用  换元回去，把上面关于t的傅里叶级数变为关于x的傅里叶级数形式，即有： 其中，  。

而且这时候的系数  和  的形式就变成： 注意，这时候积分区间变成了  到  ，因为做了换元。同样地，前面的  也变成了   ，这是非常简单的积分换元法。

所以，对于周期为T的任意一个周期函数  ，都可以展开成如下的三角函数的无穷级数： 

其中： 这个就是伟大的傅里叶级数的一般形式，也就是我们本篇开头所提到的那个傅里叶级数公式，它可以算是数学史上一个里程碑式的成果。

这里特别说明一下，  和  的积分表达式里面的积分区间其实只要是在一个周期内就可以，比如从0到T，或者从任意一个  到  都可以，不一定要按照我们上面从-T/2到T/2这样形式的区间，最终的结果都是不变的。

傅里叶的这个结果也迫使函数概念的修改，当时其他数学家都认为分段函数不可能有一个统一的解析表达式，比如这个函数，它的图像在每个  的周期内重复  的形状，如下图：

图片来源：https://www./madocs/619/

对于这样一个周期函数，我们无法用单个的解析式来表示它，而只能用分段的解析式来表示它，即每个周期内的函数表达式都不一样，我们必须在每个不同的周期内分别用一个不同的解析式来表示它。但是，重点来了，对于这样一个无法用单一解析式表示的函数，傅里叶说可以用一个三角函数级数来统一表示它，也就是上面的  在区间  上的傅里叶级数(2.25和2.26式，自变量用  或  来表示都可以)，这个级数在任何区间都与  的函数值相等。所以，傅里叶级数事实上也提供了一个统一表达分段函数的方法，不得不说这个观念颠覆了人们一直以来的函数观。

不仅如此，傅里叶的这项工作还标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放了出来：一个傅里叶级数在一整段区间上表示一个函数，而一个泰勒级数仅在函数是解析的点附近表示该函数。

到这里，我们终于是沿着傅里叶的思路一路披荆斩棘成功抵达了伟大思想的彼岸：任何一个周期函数都能展开成三角函数的无穷级数——傅里叶级数。傅里叶对这个结论深信不疑，他坚信不管一个函数是怎样的，有解析式也好，没解析式也行，不管这个函数如何古怪，就算是在有限区间内只能用分段的代数式表达的间断函数，通通都可以展开成傅里叶级数，而且他还深信这个级数是收敛的。傅里叶关于这一点的信念是建立在前面所述的几何证据(就是上面提到的定积分的几何意义)之上的，他在他的书中说道：“为了证实新结果的真实性, 为了明白地给出分析学常用的表达形式, 没有什么比几何图形对我们更适宜的了。”

傅里叶上面的一整套基于热传导方程边界问题发展出来的数学方法，看起来几乎很完美，根本不应该存在拉格朗日所批评的所谓的严密性和普遍性问题。但是为什么拉格朗日坚持这样的批评意见呢？

其实从当时的历史背景来看，傅里叶的方法完全不存在拉格朗日所批评的问题，因为对一个函数的收敛性和严格性等要求，是在19世纪的下半叶之后才发现存在问题的。在拉格朗日所处的时代，他也并不知道这里面是有问题的，但是他却仍然用不知所为何物的严格性来批评傅里叶。

所以，傅里叶很大程度上是被误解了，他真的很冤！甚至，傅里叶当时对函数收敛性问题的考虑，比拉格朗日考虑的还要更深刻、更全面。也正是因为他的论文，才吸引来了他的一个学生狄利克雷对这方面的关注，并自然而然地把函数收敛性的问题给引出来。所以，正是傅里叶的工作，才把这个纯数学的严密性、收敛性的问题引出来。从这个意义来说，傅里叶的成果不仅在那个时代的数学严格性方面没有问题，而且还有很积极的一面。

还有关于普遍性方面的问题，即是不是所有的周期函数都能够表示成傅里叶级数？拉格朗日说你傅里叶没有证明所有函数都可以这样表示，所以没有普遍性。尽管这一点不无道理，但是，这仍然是不合时代背景的标准，因为在当时，人们对这个问题也没有一个准确的认识。

实际上，我们现在都知道，极广泛的一类有限区间上的函数都可以展开成傅里叶级数。拉格朗日当时感觉有很多函数不能用三角级数表示，比如带有棱角的函数等等，但是傅里叶说，只要你区间是有限和确定的，几乎所有的函数都能表示成三角级数。之所以说“几乎所有”，而没有肯定地说“所有”，是因为后来发现确实有极少一部分函数不能展开成傅里叶级数。也就是说，一个函数能否展开成傅里叶级数是有条件的，这个条件是傅里叶的学生狄利克雷给出的，我们现在称这个条件为狄利克雷条件：

1.函数  在一个周期内绝对可积(即  )，且是连续的或只有有限个间断点，在间断点处的函数值为有限值；

2.函数  在一个周期内逐段单调，即可将一个周期分成有限个子区间，且函数  在每个子区间内或不增或不减。换句话说，函数  在一个周期内只有有限个极大值或极小值点。

满足这两个条件的函数都可以展开成傅里叶级数，而且级数在连续点  处收敛于函数值  ，在间断点  处，级数收敛于   ，即收敛于间断点左右极限的平均值。

条件1中的绝对可积是为了保证周期函数傅里叶级数中的系数  和  都存在，因为这两个系数都是通过周期函数与三角函数的乘积的积分来计算的，如果原周期函数不是绝对可积，则系数  和  有可能不存在，也就不能保证我们可以将周期函数展开成傅里叶级数。而条件2是为了保证级数能够收敛到f(x)。具体的证明比较复杂，这里不再展开。

从狄利克雷条件可以看出，绝大部分正常的函数，比如连续函数、有有限个间断点或极值点的函数都可以展开成傅里叶级数，只有极少一部分奇怪的、反常的函数，比如有无穷多个间断点或者有无穷多个极值点的函数，才无法展开成傅里叶级数。虽然这类函数在纯数学上是存在的，但是和数学家们热衷于构造这类奇怪的函数去当反例不同，物理学家和工程师们都认为这些奇怪的函数在大自然中几乎不可能出现，因此我们大可放心——对于实际场合中遇到的函数，这些条件基本都是满足的。所以对于物理学家来说，所有的周期函数都可以展开成傅里叶级数。

傅里叶在当时的历史背景下，从热传导的物理实际问题出发，并在符合当时人们对于函数收敛性和严密性方面的已有认知的条件下，作出了任何周期函数都可以展开成三角函数级数的伟大论断，这已经是傅里叶在当时所能做到的最极致的成果，而狄利克雷条件的发现那是后话了。所以，从这个意义来看，傅里叶当时所遭受的待遇真的是太冤、太委屈了，我们都不得不怀疑当时拉格朗日们的批评是不是带有政治成份。

3 换个角度欣赏傅里叶级数之美

上面我们提到了三角函数的正交性和归一性，现在我们来解释它们的含义，并从另外一个角度来欣赏傅里叶级数。

首先，我们来回顾一点线性代数的内容。在学习线性代数的时候，我们讨论最多的一个对象就是向量，还有关于向量的加法运算和数乘运算。如果由许多向量构成的一个集合  ，以及定义在这个集合之上的加法运算和数乘运算(数域  )满足八大条件，我们就称这个集合  为数域  上的一个线性空间，这八大条件如下所示：

我把这八个条件总结如下：首先，集合  关于向量加法构成一个交换群(条件1-4)；其次，数乘有单位元和结合律(条件5-6)；最后，数乘和加法运算满足分配律(条件7-8)。

线性空间里面的元素既可以是真实三维空间里有方向和大小的向量，也可以是其它的抽象对象，只要能满足八大条件，都可以构成线性空间。

有了线性空间之后，我们就可以研究线性空间里面的元素之间的关系。但是，线性空间里面的元素究竟长什么样？上面所说的那八大条件，毕竟还是太抽象了，我们能不能具体地把线性空间中的元素——我们统称之为向量给描述出来？实际上，有时候我们很难直接描述线性空间中的向量究竟是啥，但是我们可以间接地描述它们。

为了简单起见，我们现在就以二维平面中的向量为例。很显然，二维平面的所有向量关于向量的加法运算和实数域上的数乘运算构成一个线性空间(很容易用八大条件检验一下即可)。但是，我们要怎么描述或表示二维平面中的一个向量呢？比如下面这个光秃秃的有限线段，它就是二维平面上的一个向量，既有方向也有长度，我们要怎么样用数学语言来描述它？

这个问题好像问得有点弱智，因为我们都知道，描述一个向量首先要建立一个直角坐标系(准确说叫笛卡尔坐标系)，然后用这个向量在坐标系下的坐标来描述它。这话没错，但是我们怎么建立一个坐标系？很简单，我们就先取两个向量  和  ，它们的长度我们定义为1个单位，并且让它们互相垂直。然后，我们以这两个向量作为基向量，也就是作为描述其他向量的基础，这两个基向量我们称为一组正交归一的基，它们共同构成了一个坐标系，使得二维平面中的任何一个向量都可以由它们来表出。

比如上图所示的一个向量，我们就可以利用基向量来表示它： 

基向量  和  前面的系数3和4就分别表示了向量  的坐标(完整地说应该是向量在基向量下的坐标)，这两个坐标我们是怎么得到的？就是把向量  分别垂直投影到两个基向量所在的坐标轴，然后算一下这个投影出来的新向量的长度是基向量长度的多少倍，这个倍数就是向量  在基向量下的坐标。

有了基向量之后，我们也可以表示向量的加法运算和数乘运算。比如，向量  与向量  之间的加法： 在二维平面上看向量加法的结果就是平行四边形法则，物理上力的合成法则也是这样。所以，我们可以借助于力的合成这个图像来直观和物理地理解向量的加法。

对于向量的数乘运算，在几何直观上看就表现为伸缩操作，比如对向量  乘以2，即坐标都伸缩为原来的两倍：  

可以看到，选定了一组基向量之后，我们可以通过这组基向量来描述其他任何向量，以及描述向量之间的加法和数乘运算。我们甚至还可以再把这种描述简化一下，即省去基向量  和  ，直接用向量的坐标来表示向量和向量之间的运算，比如向量  可以记为  ，向量的加法可以表示为坐标的加法：  ，数乘运算可以表示为  。

但是，我们这里必须说一下，基向量的选择是任意的，你也可以选取两个不垂直的向量作为基向量(但是必须线性无关，即方向不能相同)，也可以选取长度不为1的向量作为基向量，这样建立起来的坐标系就不是我们通常的直角坐标系。然而，用这样的坐标系来描述向量和向量之间的运算，本质上跟直角坐标系并没有什么区别，只是同一个向量在不同坐标下的坐标会有所不同而已。因为用直角坐标系的方式描述起来比较方便和简洁，所以我们当然首选直角坐标系。

现在我们再想一下，两个向量之间还有没有其他运算？我们中学的时候学过向量的基本内容，里面是不是还有一个叫点乘或者点积的运算？有没有印象？ 这里的  是两个向量之间的夹角。

这个运算跟上面的加法和数乘运算不太一样，两个向量相加之后的结果仍然是一个向量，一个向量数乘运算之后也仍然是一个向量，但是两个向量的点积运算结果是一个数，而并不是一个向量。这一点从上面的公式即可看出来。

在直角坐标系下，两个向量的点积结果等于对应坐标的乘积之和： 这是因为两个基向量之间是正交且归一的，所以  ，  ，  ，这都是根据点积的定义得到的，把这些结果代入上式，然后展开计算即可得到上面的式子。

有了点积运算之后，现在我们再换个方式来描述一个向量，比如向量： 我们分别用两个基向量  和  对  作点积运算，得到：  所以向量  的两个坐标可以分别由点积来表示，即：  既然如此，那我们也可以把向量  表示为： 这里必须再次强调一下，这个表示方式只有在正交归一的基下，以及点积运算是  这样的定义下才成立，在非正交归一的基下或其他点积的顶一下就不再是这个形式了。

我们看一下这个表达式，是不是有点意思， 向量 的表达式里面竟然含有它本身！咦，稍等一下，这种表达方式怎么那么眼熟啊，好像在上面哪个地方有见过类似的形式。不着急，我们接着往下讲。

现在我们来关注点积这个运算本身，从平面向量的点积运算定义中：  我们可以看出，这个点积运算实际上是定义了一个角度，因为给定两个向量之后，它们点积运算的结果就已经确定了，而且两个向量的长度也是确定的。所以，上面的定义式实际上就确定了一个角度的余弦值，从而也就确定了一个角度。显然，当两个向量的点积为0的时候，它们的夹角为90度，也就是说两个向量正交的、垂直的。

你还可以从这个定义中得到其他一些有趣的性质，比如： 这个意思就是说向量与它本身做点积运算的结果等于它的长度的平方，这当然是大于等于0咯，我们把这个性质称为正定性。当  的时候，我们就称这个向量是归一化的。

还有两个向量的点积满足交换律： 这个性质我们称为对称性，这些都是很显然的。

当然还有数乘结合律：  ，以及点积对加法的分配律：  。

我们把上面这4点总结起来就是点积运算所满足的性质：

1.对称性：   

2.线性性，数乘结合律：  

3.线性性，加法分配律：   

4.正定性：  ，当且仅当  的时候，等号成立。

好，现在我们要引出一个非常重要的一个概念。上面我们说到，满足条件1-8的集合  ，关于加法和数域F上的数乘运算构成一个线性空间。现在我们在这个集合上再定义一个类似平面向量点积的运算，我们这里称之为内积，这个内积运算也满足上面4个性质，那么我们就称这个定义了内积运算的线性空间为内积空间，如果这个内积空间还是一个完备的内积空间(即这个空间中的任何一个柯西序列的极限也在这个空间中，而不会跑出这个空间)，那么我们就称之为希尔伯特空间(用德国伟大数学家大卫·希尔伯特的名字命名的)。也就是说：

线性空间+满足4个性质的内积运算=内积空间

完备的内积空间=希尔伯特空间

二维平面这个线性空间，关于向量点积运算显然就是一个希尔伯特空间，这个空间是我们非常熟悉的，也很自然的。但是，希尔伯特空间是非常广泛的一个概念，它不仅包含了二维和三维这样真实的物理空间，而且还包含了许许多多抽象的空间对象，只要这些对象满足上面所说的线性空间8大条件，以及存在一个满足4条性质的内积运算，以及内积空间的完备性，都可以称之为希尔伯特空间。

我们费了那么大的劲儿介绍了那么多线性代数的内容，这个跟傅里叶级数有毛线关系？

我们来看一下傅里叶级数的表达式：  其中：仔细观察一下，如果我们把这些   和  看成一组基向量的话(无穷维空间的一组基)： 那么函数  是否可以看成是一个向量，这个向量在上面这组基下的表达式就是傅里叶级数。可不可以？我们上面已经说了，线性空间中的向量既可以是真实物理空间中有方向有大小的向量，也可以是抽象的对象。所以，向量的概念不仅限于真实的二维和三维的空间，对于函数这类对象也是适用的。我们可以把一个函数理解成是一个函数型的向量，比如任意一个满足狄利克雷的函数，我们都可以看成是一个向量，所有满足狄利克雷条件的函数构成了一个函数的集合，这个集合的加法运算和数乘运算我们就定义为一般的实函数的加法和乘法。那么这个集合显然就是一个线性空间，因为实函数的加法和乘法满足线性空间的8个条件。

现在我们再来看看上面这组基中的每一个基向量。根据三角函数的性质，在一个周期内的三角函数积分满足如下性质： 这些结果的推导是非常简单的，只需要利用三角函数积化和差的公式，以及求定积分的方法即可得到，这里不再详细证明。

现在我们重点来考察一下上面这些性质意味着什么。你仔细观察一下，如果我们对任意两个满足狄利克雷的实函数  和  ，定义一个运算  如下：  

当  ，这个内积我们定义为： 那么，我们上面定义的这个运算  显然满足上面所说的内积的4个性质(这一点由积分运算的线性性即可得证)。所以，这个运算是一个内积运算。而且对于这个内积运算，上面那组由三角函数构成的基： 

它们两两之间是不是就满足了正交性和归一性？比如，  和  这两个基函数，在上面定义的内积运算下： 类比上面我们所说的平面向量内积为0即是垂直的观点，这不就说明  和  两者是正交的吗？同样的，其他任意两个不同的基函数的内积都等于0。

还有，我们再看  ，它与自己的内积结果等于1： 这不就是归一化的意思吗？同样的，其他任意一个基函数与自身的内积都是1。

综上所述，这不就是说这组基： 是正交且归一的一组基吗？

有了正交归一的基函数之后，我们再看傅里叶级数的表达式是不是就很清楚了。

从上面定义的函数的内积运算可以看出，傅里叶级数的系数正是函数  与各个基函数之间的内积： 我们上面说向量  可以用内积的形式表示为： 你现在再看看傅里叶级数，是不是也是可以写成类似的形式： 

看到这里之后，想必你可能已经理解了上面我们讲到傅里叶在求解系数  和  时所用的方法，傅里叶为什么要用三角函数  同时乘以正弦函数级数  的两边，然后进行积分？其实他的这波操作就是在一组正交归一的基下用内积的方法求解向量的坐标，跟向量  两边同时乘以基向量  和  之后得到  和  是一样的。

而且，我们这里还要说一点，傅里叶级数的这组无穷维的基： 是完备的。这里的完备的意思就是说任何一个函数(满足狄利克雷条件)或者称之为向量(抽象的向量)，都可以由这组基表示出来，这就是完备性。这个完备性跟内积空间的完备性不是同一个完备性。这里的完备性是针对一组基来说的，而上面的完备性是针对任何一个柯西列的收敛情况而言的。

原来傅里叶级数的表达式与向量在一组正交归一的完备基下的表示方式是一回事，它只不过是我们把向量的概念推广到函数类，并定义一个类似点积的内积运算之后，在一组无穷维的三角函数基向量下的表达式。所以，满足狄利克雷条件的实周期函数构成的全体集合，它关于函数加法和乘法，以及上面定义的两个函数的积分运算，也就是函数之间的内积运算，也构成一个内积空间，而且这个内积空间是完备的，所以它也是一个希尔伯特空间。(希尔伯特空间是一个非常重要的数学概念，它也是量子力学的数学基础之一)

如果我们以上面所说的向量和内积的角度来记傅里叶级数，你还会觉得很难记吗？简直不要太简单好吧，你只需要记住这组基函数： 而且这组基函数也是有规律性的，正余弦函数里面的角频率都是原函数  的基频率  的正整数倍，这简直就跟自然数一样简单和自然。记住了这组基之后，接下来就是原函数  在这组基下的坐标，也就是傅里叶级数的系数  和  ，这两个也很好记，因为我们已经有了两个函数的内积的定义，也就是在一个周期上的积分(前面乘上一个2/T)，利用这个内积和向量的表示方法，我们很直观地就能想到这两个系数等于原函数与各个基函数之间的内积。你看，用这种方法来记傅里叶级数的公式，是不是如丝滑般的顺畅？‍

我们从向量和向量在一组基下的表示方式来看待傅里叶级数，是不是让你感觉到一股熟悉的味道，就像见到熟悉的老朋友一样。这个角度也是一个非常优美的看待傅里叶级数的方式。你可能会说，原来傅里叶级数这么简单，不就是一个向量在一组下的表达式而已嘛，这也不是什么了不起的成就嘛！如果你这样想，那未免图样图森破了！

没错，如果是对于真实物理空间的二维或三维向量，甚至是n维的向量空间  ，我们都可以找到一组标准的正交归一的基向量来表示任何一个向量。但是如果对于像由周期函数这类对象构成的一个抽象空间，你给我找出它的一组正交归一的基试试，就算你找出来了，你怎么知道这组基就是一组完备的基，可以表示任意一个周期函数。

傅里叶级数就告诉了我们，由周期函数这类对象构成的抽象线性空间的一组正交归一的基是什么样的，这为我们解密了周期函数的基本构建单元，是一项真正伟大的、历史级别的成果，它足以让傅里叶名垂千史！

4 结语

好，终于写到结语了，今天这篇文章我们了解了傅里叶的生平故事，以及傅里叶本人提出傅里叶级数这个伟大思想的物理背景和思考过程。同时，我们也从线性空间、向量和向量在正交归一基下的表示方式的角度了解了傅里叶级数的形式意义。如果你能看到这里，那真的是非常地不容易，我先为你点赞！由于文章太长，涉及内容也较多，其中难免存在一些不严谨的地方，如果你发现了，欢迎你在后台给我留言和交流。但是文章还没完，这只是上半篇，结语这部分我也没太多内容想说了。我们下一篇再来讲讲傅里叶级数的物理意义和傅里叶变换等内容！

参考资料：

[1].古今数学思想，美  莫里斯·克莱因 著，石生明 万伟勋 孙树本等 译

[2].热的解析理论，法 傅里叶 著，桂质量 译