|
偏微分方程是含有未知多元函数的偏导数的方程。例如热传导方程 就是一个典型的二阶偏微分方程，其中的是位置坐标和时间的温度函数，是常数。偏微分方程这门课程的主要任务是研究偏微分方程的求解方法和解的性质。在历史上，起初人们以为偏微分方程只是常微分方程的简单推广，但是随着对各种各样的偏微分方程研究成果的不断积累，人们发现偏微分方程要比常微分方程难得多，关于偏微分方程的普遍性理论也逐步建立了起来，其中关于二阶线性偏微分方程的理论最为完整，它们可以分成双曲型（以波动方程为代表）、抛物型（以热传导方程为代表）和椭圆型（以调和方程为代表）这三种类型来分别加以研究。 偏微分方程在物理学和现代科学技术中有十分重要的应用，同时它也是现代数学中一个很重要的基础分支学科。在大学数学系的各门课程中，偏微分方程、实变与泛函、抽象代数这三门课大概都属于最难的课程了。我们在大一时学习的数学分析课程其实主要就是在为偏微分方程作准备的（当然也为其他一些课程作准备），例如数学分析级数论中的函数项级数一致收敛的理论，就反复地用到了偏微分方程的课程中，特别是看上去比较奇怪的用三角函数级数来表示任意函数的傅里叶级数的理论，简直就是为偏微分方程课程量身定做的，还有多元微积分中比较复杂的联系曲线与曲面积分的高斯公式（即散度定理），更是成为了研究偏微分方程中的调和方程解的性质的有力工具。 偏微分方程这门课程（有时也称为“数学物理方程”）包含了非常丰富的内容，具有相当的难度。确实，从18世纪中叶法国数学家达朗贝尔开始研究波动方程的求解问题到现在，已经过去了两百多年，在此期间无数的数学家们都为偏微分方程这个数学分支学科作出了大大小小的各种贡献，其中就包括了像欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西这样的大数学家。尽管偏微分方程这个学科已经产生了数量众多的理论与方法，但是作为本科程度的教材，只能选取偏微分方程理论中最基本和最重要方法来进行入门性质的教学。 笔者在读数学系本科大三的偏微分方程课程时，念的课本是由复旦大学编的偏微分方程教材《数学物理方程》（[1]），它包括了以下各章的内容：
图1：复旦大学数学系主编《数学物理方程》 图2：谷超豪、李大潜等《数学物理方程》 这本教材除了以上五章的内容，还包括了“第六章 广义解与广义函数解”、“第七章 偏微分方程的数值解”这两章的内容，因为这两章的内容不作为课程的重点，所以这里没有列出它们的具体内容。 当时笔者感觉偏微分方程这门课程学起来比较难，教材中有不少艰深的概念，定理证明的过程和解方程的方法也很复杂。这从历史上来看并不奇怪，因为这门课程凝聚了18、19和20世纪中的许多数学家深刻的数学思想方法和高超的分析技巧。 就像很多人经常说的：在学习严格的数学分析课程之前，最好有一个不强调证明的微积分课程一样，人们希望在学习偏微分方程的基础理论课程之前，最好也有一个不强调证明的初等偏微分方程课程。笔者最近看到过一本国外编写的初等偏微分方程教材《Applied Partial Differential Equations》（[2]）,内容不多，只有181页，但是写得很平易。该书主要包括了以下四章的内容:
这个初等偏微分方程的课程体系摆脱了传统的“双曲型、抛物型、椭圆型”三种类型的教学架构，比较好地显示了偏微分方程理论最基本和最简单的思想方法。如果读完了这本教材，再来念复旦的偏微分方程教材，可能就不会感到那么难了。 先学初等偏微分方程课程的做法其实也与数学发展的历史相契合。笔者认为在学习每一门数学课程时，首先要了解这门课程的早期形成历史，并且教材也要尽量按照数学历史发展的进程来安排教学的内容，这是因为一般来说数学的发展历史是比较精彩和富有启发意义的，它能够让学生更好地理解各门数学课程。最好是用历史上曾经出现过的原始数学问题来引入教学的主题，并且运用前人的朴素想法，来解决一些相对简单的问题，从中揭示抽象的数学概念与方法所包涵的丰富的实际内涵，使他们先对这个学科的特点有一个初步的整体性的了解，从而产生进一步深入学习该学科的兴趣。 一、分离变量法是求偏微分方程经典解的最基本方法本节就介绍一些可以在初等偏微分方程课程中讲的内容。 分离变量法是早期研究偏微分方程的求解问题时最常使用的方法，这种方法先求满足方程的变量分离形式的解，这样的解通常有无穷多个，然后再根据初始条件和边界条件，将求出的无穷多个的解叠加起来，从而就构成了偏微分方程的级数形式的通解。 1．波动方程对偏微分方程的研究开始于18世纪的中叶，法国数学家达朗贝尔首先明确地从张紧的弦振动问题中抽象出了一维波动方程 这里的是常数，是弦上各点位置坐标和时间的位移函数，它需要满足边界条件 和两个初始条件 其中的表示弦的长度。然后达朗贝尔对时的波动方程作换元变换 则通过运用复合函数的求导法则，可以将波动方程化为等价的偏微分方程 从而求出了后者的通解为 这里的和都是二阶可微函数。再回到原来的自变量，达朗贝尔就得到了方程的通解为 （后来，法国数学家拉格朗日运用边界条件（1）和初始条件（2），写出了的解是 它是今天的偏微分方程课本中的“达朗贝尔公式”的特殊情形。） 不仅如此，达朗贝尔还首次运用了分离变量法求出了波动方程的三角函数解。具体来说，他设方程的解是两个函数的乘积，它们中的每一个函数只依赖于一个独立的变量：即设 代入方程后得 将上式分离变量，得 要使这个等式左边关于的函数与右边关于的函数相等，唯一的可能就是左右两边都等于同一个常数，将这个常数记为，再通过解两个常微分方程 和 便可以得到三角函数解 和 这样，达朗贝尔就求出了波动方程的无穷多个解是 另两位数学家约翰·伯努利和欧拉进一步利用线性叠加的原理，把波动方程的通解表示成了级数形式： 并且他们用初始条件来确定上式中的系数，从而就得到了等式 从这里便产生了用一系列三角函数来表示一个任意函数的想法，也就是出现了傅里叶级数理论最早的思想萌芽。 但是将一个任意函数表示成三角级数的无穷和的思想立即遭到了当时一些数学家的反对，他们的理由是三角函数是周期函数，而一个任意的函数不一定是周期函数。当时人们理解的一元函数都是定义在整个数轴上的，他们没有意识到任意函数与周期函数是可以在有界区间上相重合的。另外在18世纪的时候，数学界还没有级数收敛的概念（更不要说函数项级数的一致收敛概念了），人们只是以一种模糊的方式来看待像（4）式这样的等式。 现代的偏微分方程课本中波动方程的通解公式与（3）式稍有不同： 其中的系数与由初始条件（2）来确定。 图3：法国数学家达朗贝尔 2．热传导方程到了19世纪初，法国数学家傅里叶用与解波动方程完全相同的分离变量法，求出了热传导方程 的通解公式。这个方程只有一个初始条件 傅里叶要对出方程的解，他首先设方程的解为，代入方程后得 由常微分方程 及边界条件可以得到和 将（5）代入另一个常微分方程，解出了 所以热传导方程的通解是 傅里叶在上式中代入初始条件后，得到了等式 此时他就必须面对“ 是否能表示成三角级数的和”的基本问题，特别是系数怎样来确定？经过一番曲折的探索过程后，傅里叶发现了系数公式 从而最终肯定地回答了任意函数可以表示成三角函数的和的问题。在这个过程中，傅里叶初步形成了级数收敛的正确概念，并且进一步创立了在现代数学与科学技术中十分重要的傅里叶级数与傅里叶积分的系统理论。 图4：法国数学家傅里叶 3．调和方程对于调和方程来说，研究得比较多的是边值问题，即在空间的一个区域的边界 上给出定解条件，在内求调和方程的解。19世纪的法国数学家泊松运用分离变量法的精湛技巧，在圆形区域上求出了二维调和方程 解的精确公式，这个解在边界上的值等于已知函数的值。 首先要将直角坐标换成极坐标，这样，圆心在原点、半径为 的圆形区域就是 而调和方程的解所必须满足的边界条件则变成了 由复合函数的求导法则，可以推导出极坐标下的调和方程是 设该方程分离变量的解是，代入（7）式后得 因此得到两个常微分方程 和 根据边界条件,可以确定,然后从上面两个方程分别解出 和 从而得到了调和方程(7)的通解为 接下来由边界条件（6），得到用来确定上式中各个系数的关键等式 或者写成 在上式的两边乘以适当的函数，再两边积分，可以得到各个系数为 和 现在将上面这两个式子代入（8），可得 然后运用等式,有 最终就得到十分优美的“泊松积分公式”： 可以证明，由上式确定的函数确实是调和方程（7）的解，并且满足边界条件（6）。 泊松积分公式的重要意义在于：它用区域边界上给定的值，把调和方程的解函数在区域内部的值完整地表示了出来。例如在公式（9）中令，则有 因此得到结论：如果函数是某一圆形区域上的调和方程的解，那么在圆心的值等于在圆周上的值的平均值。 图5：法国数学家泊松 二、对调和方程的进一步研究在了解了上述泊松积分公式的产生过程后，再来学习复旦偏微分方程课本中第三章的“格林公式”和“格林函数”时，就不会感到很陌生了。 格林是19世纪中另一位对偏微分方程理论作出重要贡献的英国数学家，他以电磁学的理论作为参照，来研究三维调和方程 的解的性质，这个解满足边界条件。这里的 是空间有界区域，是的光滑表面曲面。 格林首先从多元微积分中的高斯公式出发，推导出了非常基本的“格林第二公式”： 然后他用这个公式推导出了关于调和方程解的一个很重要的公式 公式（10）的意义与泊松积分公式（9）的意义一样，它把调和方程解在 中每一点处的值，用在边界 上的值 表示了出来。出现在公式（10）中的函数就是著名的“格林函数”，它具有很好的性质，是我们了解调和方程解的性质的基本工具。 通过运用公式（10），我们可以推导出调和方程解的一系列基本性质，例如平均值公式、调和方程解的解析性、哈那克定理等。我们还可以从公式（10）出发，推导出空间球形区域上三维调和方程解的精确公式（即球形区域上的泊松积分公式，用球坐标来表示）： 这个球的球心是原点，球半径为，是在球面的给定值，并且 满足 调和方程的一般推广就是下面的二阶椭圆型偏微分方程： 其中的系数矩阵是正定矩阵。20世纪以来，人们已经运用了包括变分法、积分方程法、绍德尔方法、差分方法、泛函分析法在内的各种方法来研究椭圆型偏微分方程解的性质，取得了丰硕的成果。 参考文献[1] 谷超豪等，数学物理方程，北京：高等教育出版社，第一版1979，第二版2002，第三版2012 . [2] J.D.Logan , Applied Partial Differential Equations .（UTM丛书）. Springer-Verlag,New York,1998 . |
|
|
