傅里叶分析

一 傅里叶级数

  1 泰勒级数与欧拉公式

    f(x)在定义域内存在连续N阶导数，则f(x)可以写成泰勒级数，如：  

  1） 

  2）

  3)

  观察以上级数，指数函数与三角函数可能存在一定关系，如e^x=asin(x)+bcos(x)，设函数为e^ix（其中i为虚数），其傅里叶级数为：

，则可推出如下关系：e^ix=cosx + isinx （欧拉公式）。

2 在（-π,π）区间上的傅里叶级数

   假设f(x)为在(-π,π)上的周期函数，且相信该函数可写成三角函数和

,

使用三角函数和角公式可展开为：

 ，

  在该和函数中，如果可以求出系数a与b, 则完成了傅里叶级数分解。由于未知参数个数远多于方程个数，无法使用代数方法得出a与b的值，这里需要利用积分来  完成系数求解。

由于三角函数的正交性（类比向量正交）可以简化运算结果，这里首先给出三角函数正交性结论：

 1）

 2）

 3）

   对左右同时在（-π,π）区间上积分，可得；

  对左右同时乘以cos(kx)再积分，可得；

  对左右同时乘以sin(kx)再积分，可得。

 3 在任意周期上的傅里叶级数

   观察发现，f(x)以2π为周期，其右边和式部分的周期序列为2π, π, 0.5π, 0.25π...；当f(x)以2a为周期时， 其右边和式部分周期序列应该为2a, a, 0.5a, 0.25a...， 则f(x)可分解为 ；对（-a, a）区间平移形成（-a + c, a + c）后仍然为一周期函数，且同样满足三角函数正交性相关性质， 故对以（-a + c, a + c）为周期的函数f(x), 有如下结论：

1）

2）

3）

4  a_k与b_k是否收敛？

  f(x)是一个有界函数，其傅里叶系数a_k, b_k是无穷序列，当k趋近无穷大时，a_k与b_k是否趋近0？当k趋近无穷大时，三角函数周期趋近于无穷小， 在三角函数的一个周期内， f(x)函数值近似为一常数，则；同理，b_k亦如此。故a_k与b_k是否收敛。

5 傅里叶级数的指数形式

  根据欧拉公式e^ix=cosx + isinx, e^-ix=cosx - isinx, 可得 ，将其带人中整理得：

   （在该式中，k 为正整数），观察发现可将指数项合并，同时k扩展为正负整数集（包括0），整理如下：

  ，系数c_k与系数a_k, b_{k关系如下：}

  1）当k=0时， c₀ = a_0；

  2）当k>0时， c_k = (a_k - ib_k) / 2；

  3）当k<0时， c_k  = (a_-k + ib_-k) / 2；

  当将周期函数写成时， 应该如何直接求取c_k系数呢， 这里同样需要利用函数的正交性，具体如下：

  1）；

  2）对左右同时乘以并在（-a, a）区间上积分得：。

 二 傅里叶变换

   周期函数f(x)的傅里叶级数指数形式为：

   ，

    其中系数c_k反应了函数f(x)在频率为k时（定义周期为2a时频率为1）的强度，当周期a趋近与无穷大时，可以将写成积分形式（积分的黎曼和表示），这就引入了连续变量下的傅里叶变换，推导如下：

  =>，其中方括号部分为c_k；

  =>，由于a趋近无穷大，π/a趋近无穷小，令dλ=π/a, λ=kπ/a

  =>，外面的求和可以改写积分形式，如下：

  =>，其中方括号内积分为对原函数进行傅里叶变换，外面积分为相应的傅里叶逆变换。

   根据以上推导，连续函数f(x)的傅里叶变换总结如下：

   （傅里叶变换） （傅里叶逆变换）

   以上推导中，使用dλ=π/a, λ=kπ/a进行变换，若改用dλ=1/2a, λ=k/2a，则有如下推导：

  =>,

  =>(傅里叶变换）（傅里叶逆变换）

三 离散傅里叶变换

  1 关于冲激响应，卷积以及采样定理的一般结论

   1）冲击串的傅里叶变换为，周期为T的冲激串的傅里叶变换是周期为1/T的冲激串；

   2）信号分解表达式为：，，若单位冲击响应线性时不变，则响应函数定义的卷积函数，如下：

    ，；

   3）对卷积进行傅里叶变换，等价于分别对信号与响应函数进行傅里叶变换后的乘积；对信号与响应函数的乘积的傅里叶变换，等价于分别对信号与响应函数进行傅里叶变换后的卷积：，。

   4），，采样后函数的傅里叶变换是原函数傅里叶变换的一个无限拷贝，则只要取样周期T < 1 / (Umax * 2), 则取样函数可以完全恢复原函数；

  2 离散傅里叶变换

   （对采样函数进行傅里叶变换）

   （将采样函数与原函数关联）

  ，根据采样定理得：。

  假设在周期1/T中取M个等间距样本，则有，

  （离散傅里叶变换），（离散傅里叶反变换）。

语言	方法
1726	wjgn4
C926j	钱治亚个人资料「曝光」附带生活照「泄露」
3398	2012.09.13 21-29-04