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目前国内大学的高等数学与数学分析课程的内容，一般都是由极限论、一元微积分、级数论和多元微积分这四大部分所组成，其中一元微积分对应了通常国外所说的“初等微积分”课程，而极限论、级数论和多元微积分这三部分加起来则对应了所谓的“高等微积分”课程。 微积分可以说是人类科学思想史上最伟大的创造，凭借着微积分这一有力工具，人们可以计算大自然和人类社会中所有各种数量的精确值，以及用来发现和表达各种量化的规律，从而为造就和支撑现代科学技术和人类文明的宏伟大厦奠定了坚实雄厚的数学基础。另一方面，数学家们还进一步从微积分中发展出了严格的数学分析理论，从这个理论中，后来又发展出了常微分方程、复变函数论、微分几何、偏微分方程、概率论、实变函数论、拓扑学、泛函分析等许多分支学科，因此可以说数学分析其实是近现代数学的发展源头和理论基础。 最近，科学出版社隆重推出了柯朗与约翰写的两卷名著《微积分和数学分析引论》（以下简称《引论》）中译本的重排本。这两卷《引论》的英文原版的书名为《Introduction to Calculus and Analysis》（有世界图书出版公司北京公司的影印本）。在1989年，著名的Springer-Verlag出版社重印了全套的两卷《引论》，并且将其列入了重要的“Classics in Mathematics（数学经典）”系列丛书之中。虽然这两卷名著的英文版都初版于半个世纪前左右，但是其生命力经久不衰，全世界范围内无数的学生和教师从中受益，已经被公认为是一套大学数学的经典传世名著。
图1：《引论》第一卷的英文影印本 《引论》的第一卷在前面两章里，分别讲解了极限理论和微积分基本定理，然后再依次接着讲了进一步的微分法和积分法、微积分在物理学与几何学中的应用、泰勒展开式、数值方法、级数理论、傅里叶级数、简单的常微分方程等基础内容。
图2：《引论》第一卷中译本的目录 《引论》第二卷的基本思想是将一元微积分推广到高维的欧氏空间，其主要内容包括了多元函数偏导数、线性变换、多元函数微分学、多重积分、曲面积分、微分方程、变分学、单复变函数等内容。
图3：《引论》第二卷中译本的目录 科学出版社早在1979年就已经翻译出版了两卷《引论》的中译本，译者们主要由当时的北京大学数学系一批资深的数学教授来担任，他们扎实的数学专业水平与很好的中文表达功底，充分保证了全部中译文的准确与流畅。只是受限于当时的印刷条件，每一卷都分成了小开本（32开本）的两个分册，这样全部两卷的中译本合起来就有四册。在2001年，科学出版社将两卷四册的《引论》列入了“数学名著译丛”系列丛书中。四十年多来，两卷《引论》的中文版发行，对于促进国内广大师生们学习微积分与数学分析，提高大学数学的教学水平，起到了很大的作用。
图4：《引论》第一卷的2001年版中译本 现在，科学出版社通过运用比较大的开本（16开本），重新排版印刷了两卷《引论》的中译本，恢复了原来的一卷一册的做法（第一卷重排本有576页，第二卷重排本有838页），这对于读者学习和使用会更加方便，并且封面和版式的设计更加大气，数学符号的排版也更加优美，增加了阅读的舒适感。
图5：《引论》第一卷中译本的重排本 两卷《引论》的作者是R. 柯朗与F. 约翰，他们两位都是十分优秀的分析学家，对微积分与数学分析的理解极其透彻，同时他们又擅长于数学教学和数学写作，因此他们就能够写出与众不同的两卷《引论》。柯朗与约翰都认为，微积分与数学分析的讲解，不能仅仅从逻辑论证出发，从定理到定理，而是要在讲定理与公式的推演证明的同时，还要充分地讲解隐藏在数学理论背后的直观思想，这是因为这些杰出的思想曾经引导历史上的大数学家们作出了重要的发现，它们可以帮助学生更好地理解和掌握这门课程的内容。
图6：科学出版社海报中对R. 柯朗的介绍 自从《引论》第一、二卷的英文版分别在1965年和1974年出版以后，在世界范围内取得了极大的成功。著名的数学杂志《The Mathematical Gazette》曾经这样高度评价《引论》的第一卷： “ 学生们在学习微积分与数学分析时，一般都要接触到大量的数学概念与定理，他们中的许多人在听课或读书时，经常会不太理解在这么多的概念与定理背后的思想动机是什么，为什么要学习与研究它们？数学家们是怎样一步步想出来这些非常奇妙的数学方法的？限于篇幅的原因，大多数的教材最多只能给出少量概念与定理的思想动机介绍，而两卷《引论》则对微积分与数学分析中基本上所有重要的概念与定理，都详细地给出了它们的动机和基本思想的描述，以及具体的计算与论证过程，这是十分难得的。学生们通过仔细的阅读和思考，然后再做完《引论》精心挑选和编排的练习和问题（第二卷附有全部问题的解答），就能够加深对于微积分与数学分析中最基本思想和内容的理解。 在大学数学的教学中，我们知道逻辑推导与直观思想始终是一对很不容易处理的矛盾，这是因为一门数学课程的逻辑结构与这门课程的历史发展过程在很多时候是不太一致的。在严密的推理体系中，往往很难解释数学理论背后的直观思想（这不是讲几句话就能解决的），有些十分重视逻辑推演的教学过程可能会让学生去关注一些其实不太重要的细节问题。而在另一方面，如果没有具体的数学逻辑推导过程，又无法真正地体现深刻的数学直观思想。因此从这个角度上可以说，柯朗与约翰所写的这两卷《引论》，很好地解决了在微积分与数学分析的教学中逻辑与直观这一对固有的矛盾问题。 下面我们对《引论》第一卷中各章的精彩内容，分别作一些简单的导读。 第1章“引言”导读《引论》第一卷的第1章主要讲极限理论。极限理论的主要内容有：数列的极限、函数的极限、连续函数、关于实数的基本定理、以及闭区间上连续函数的性质。之所以要在讲微积分前系统地讲清楚极限的理论，主要是想为整个微积分与数学分析课程打好一个比较坚实的数学理论基础。 目前在高等数学与数学分析的教学中，学生们感到非常困难的地方是极限理论中的定义的理解和掌握。回顾历史，在微积分的理论发展了将近两百年后，才由柯西在19世纪初奠定了微积分理论的逻辑基础。柯西不仅定义了函数的“极限”，他还用这个极限概念定义了“连续”、“可微”和“（连续函数意义下的）可积”等一系列最基本的分析学概念，并且证明了连续函数一定（在连续函数意义下）可积，从而比较彻底地澄清了18世纪围绕着函数的可微、可积等基本概念的模糊状态。后来在19世纪中叶，黎曼进一步给出了“黎曼积分”的基本概念，使得可积分的函数类扩大到了不连续的函数。19世纪后期的魏尔斯特拉斯还提出了今天我们课本上函数极限的 定义，由此完善了整个微积分和分析理论的逻辑基础。 《引论》在讲极限理论的时候，将重点放在了直观上容易理解的连续函数上。它与我们一般先讲极限、再讲连续不同，是先讲连续、后讲极限。《引论》从连续函数的直观意义和基本概念入手，先引出了函数连续的定义。这个定义简单地说就是：对一切满足的，成立 然后再通过放松条件（将后面不等式中的 换成了数 ），就给出了函数极限的一般定义，此时的数 就是函数当 时的极限。接下来《引论》还给出了实数连续统的完备性定理（即区间套定理）和连续函数的常用基本性质。《引论》对极限理论的这个比较简单扼要的处理，足以满足后面讲解微分学、积分学和级数理论的全部需要。 第2章“积分学和微分学的基本概念”导读《引论》第一卷的第2章主要讲一元微积分的基本思想和基本运算。与其他同类课程先讲微分学、后讲积分学不同，《引论》是先讲积分，然后再讲导数，目的是让学生尽早地接触微积分基本定理，这样就紧紧抓住了整个微积分的根本思想——微分与积分的互逆关系，由此出发就不难理解微积分与数学分析理论的各个组成部分之间的有机联系。《引论》先讲积分后讲微分（导数）的顺序，符合历史上人们对微积分的认识过程，将两者放在一起讲，能够更好地揭示积分和微分的本质。以阿基米德为代表的古代数学家早在两千年前，就已经开始用以直代曲、无穷累加的思想来计算几何量的精确值。 在本章中，《引论》先讲了黎曼积分的定义及其计算，并且像历史上的数学家一样，用不等分的小区间对指数 是有理数的情形，来计算幂函数的积分值，由此来认识和推导定积分的基本性质。然后用变动上限的定积分来定义指数函数 ，这不仅能够论证在初等数学中无法严格解释的初等函数基本性质，而且也为学生以后学习用变动上限的定积分来定义的新函数（例如很重要的椭圆函数）埋下了伏笔。 在讲完了定积分的基本概念与性质后，《引论》才开始从切线入手引入差商，讲导数的基本概念与具体计算，并且还讲了很基本的中值定理和微分概念。在微积分与数学分析的发展历史上，微分与积分的互逆关系不仅是最主要的直观思想，而且也是最重要的发现。《引论》在这里按照数学历史的发展过程，很自然地引入和讲解了微积分基本定理（即牛顿-莱布尼茨公式）。在这一章的结尾，《引论》还严格地证明了连续函数的定积分的存在性。 第3章“微分法和积分法”导读在《引论》第一卷的第3章中，作者进一步详细地给出了导数和定积分的基本性质、各种常见初等函数的微分方法和积分方法，以及导数和定积分的一些最基本的应用。每一位学生都应该熟练地掌握本章中的各种公式及运用它们的方法。 第4章“在物理和几何中的应用”导读《引论》第一卷的第4章主要目的是介绍微分几何的基本概念。经典微分几何的主要研究对象是三维欧氏空间中的光滑曲线和光滑曲面（它们的现代名称叫一维和二维的微分流形）。为了刻画曲线和曲面的几何形状和弯曲程度，数学家们引入了曲率的概念。《引论》在这里重点讲了平面曲线的曲率公式，以及微积分对物理学和几何学的一些初步应用。 第5章“泰勒展开式”导读函数的泰勒展开式是微积分与数学分析里非常优美的一套理论，这个理论直接导致产生了严格的级数理论，并且在后续的数学课程中发挥了很重要的作用。函数的泰勒展开式一般都是在讲微分学时，用柯西中值定理来证明展开式的余项公式的。在历史上，泰勒展开式与函数的幂级数展开理论具有天然的内在联系。《引论》第一卷第5章的开头就精辟指出：“在微积分发展的早期，获得了一项巨大的成就，就是由牛顿和其他科学家发现了许多已知函数能够表示成'无穷次多项式’或'幂级数’，其系数是由一些极其优美而简明的规律形成的。” 将泰勒展开式和幂级数比作“无穷次多项式”，显示了分析学的一种重要思想方法，就是用最简单的多项式函数来刻画和逼近其他所有的光滑函数，使得各种复杂函数的问题都可以转化为最简单的多项式函数的问题来解决。“无穷次多项式”的这种说法确实是很准确的。 在这一章里，《引论》像早期的数学家那样，先用朴素而又简单的想法推导出了对数函数和反正切函数的泰勒展开式（其中假定了可以逐项积分），然后从中抽象出了泰勒展开式的一般规律。接下来《引论》再运用拉格朗日中值定理仔细估计展开式余项的大小，充分地表达和解释了无穷逼近的思想方法。 在讲完了泰勒展开式的直观思想后，《引论》接着再对各个常用的初等函数展开式余项进行了精确的计算，还仔细推导了数值方法中经典的牛顿插值公式和拉格朗日插值公式。 第6章“数值方法”导读数值方法（也称为计算方法）是数学中一门很重要的分支学科。《引论》在第一卷第6章的开头这样描述了这个学科的目的和特点： “ 本章首先以定积分的近似计算为例，阐明了数值方法最基本的思想方法。《引论》仔细推导了著名的辛普森法则，并且精确估计了其中的误差公式，这些推导和估计方法都是分析中的常用方法。 《引论》还详细介绍了经典的圆周率的数值计算方法，以及对数函数值的计算方法、求非线性函数方程解的牛顿切线法，这些方法都是非常富有启发意义的。特别是牛顿切线法的思想是很重要的，这种方法后来在20世纪又进一步发展成为解非线性函数方程组和非线性最优化中基本的“拟牛顿法”。 第7章“无穷和与无穷乘积”导读《引论》第一卷的第7章主要讲无穷级数理论。首先讲数项级数的收敛与发散的基本概念，以及收敛的判别法，其中就包括了著名的阿贝尔判别法、条件收敛与绝对收敛的判别法。 在函数项级数的收敛性判别问题中，最关键的概念是一致收敛的概念。在历史上，曾经有一些数学家因为缺乏一致收敛的概念，而得出了连续函数的无穷和一定也是连续函数的错误结论。《引论》仔细剖析了一些不一致收敛的级数例子，并且详细推导了函数项级数一致收敛的判别准则，及其对函数项级数的积分与求导问题的应用。 幂级数是最常见的函数项级数。《引论》将泰勒展开式与幂级数放在一起讲的做法是独一无二的，这种讲法完全讲清楚了幂级数理论的来龙去脉。《引论》在这里重点讲解了牛顿的二项式级数、椭圆积分的计算过程、复数项幂级数、无穷乘积等基本内容。 第8章“三角级数”导读《引论》第一卷的第8章的主题是在分析学的理论和应用中都十分重要的傅里叶级数（也称为三角级数）。傅里叶级数在科学技术中的应用极为广泛，几乎在所有的物理学分支中都要用到傅里叶级数，这是因为在声学、光学、热力学和电气工程中，为了要研究周期性的运动，就必须使用傅里叶级数。另一方面，从微积分和数学分析的发展历史可以知道，包括幂级数和傅里叶级数在内的函数项级数的一个主要用途，就是用来求解各种各样的微分方程。人们发现，许多微分方程的解根本不可能用初等函数来表示，它们只能用幂级数或傅里叶级数来表示。 《引论》在本章的开头就说：“用幂级数表示的函数，或者如拉格朗日所称呼的'解析函数’，在分析中的确起着一种中心的作用。但是，由于这类解析函数在许多实例中太受限制，因此下述事实（即可以用傅里叶级数表示一类广泛的函数）对整个数学以及对大量应用来说，是一个颇为重大的事件。” 本章首先介绍了周期函数的概念，然后通过讲解物理学中的谐振的叠加，来导入了傅里叶级数的基本概念，特别是强调了任意的带有间断点的函数都可以表示成三角级数的和。然后《引论》着重讲解了判别傅里叶级数收敛性的“主要定理”，这个很基本的收敛定理在傅里叶级数理论的发展历史上具有重要的作用（见笔者的文章“从傅里叶级数角度看数学分析”）。 《引论》的第一卷在第8章中还讲了几个比较深入的内容，其中就包括了傅里叶级数的一致收敛和绝对收敛性，以及任意连续函数的多项式近似等内容，特别是详细讲解了令人惊叹的伯努利多项式理论中的一些高超分析技巧。 第9章“关于振动的最简单类型的微分方程”导读《引论》第一卷的第9章比较短，主要介绍了一类最简单的常微分方程，这种微分方程来源于力学和物理学中的振动问题。这一章的目的是为以后学习常微分方程这门基础课程，作一些初步的准备。 文稿|陈跃 |
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