微积分的历程：从牛顿到勒贝格 牛顿篇

作者：William Dunham

译者：李伯民， 汪军， 张怀勇

序言

伟大的思想家恩格斯曾经精辟地指出：“在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看成人类精神的最高胜利了。”20世纪最著名的数学家之一冯·诺伊曼称“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是 不会过分的。”

微积分的思想可以追溯到久远的古代，从两千多年前一直到中世纪，东西方不断有人试图用某种分割的策略解决像计算面积和求切线这样的问题。但是，这种方法必须面对如何分割和分割到什么程度的问题，也就是人们后来才意识到的难以捉摸的“无穷小”量和“极限”过程的问题。人们经历了漫长的岁月也终究未能取得突破。最后，牛顿和莱布尼茨这两位先驱在前人工作的基础上创立了微分法和积分法，并且发现它们是一种对立统一的方法（这种对立统一表现为微积分“基本定理”），再经伯努利兄弟和欧拉的改进、扩展和提高，上升到了分析学的高度。早期的微积分由于缺乏可靠的基础，很快陷入深重的危机之中。随后登上历史舞台的数学大师柯西、黎曼、刘维尔和魏尔斯特拉斯挽危难于既倒，赋予了微积分特别的 严格性和精确性。然而，随着应用的扩大和深化，各种复杂和深奥的问题层出不 穷，不断在分析学界引起混乱，导致微积分再度走向危机。到这时，数学家们才发现，严格性与精确性其实只解决了逻辑推理本身这个基础问题，而逻辑推理所依存 的理论基础才是更根本也更难解决的问题。最终，当现代数学天才康托尔、沃尔泰 拉、贝尔和勒贝格把严格性与精确性同集合论与艰深的实数理论结合起来以后，创建微积分的过程才终于到达终点。

本书把建立微积分的崎岖历程中发生的重大事件和出现的杰出人物，一一展现在读者面前。不过，作者的意图不在于单纯地叙述历史，也不在于讲解微积分知识和描绘数学家的传奇故事，而是要展现创建微积分的过程中的思想，揭示曲折的过程和最终的结果之间的必然联系，不仅让读者领略到大师们所取得的那些不可企及的成就，更让读者体会到他们付出的艰辛劳动。

前言

20世纪杰出的数学家约翰·冯·诺伊曼（1903—1957）在论述微积分时写道：微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。 今天，在微积分出现3个多世纪之后，它依然值得我们这样赞美。微积分俨如一座桥梁，它使学生们通过它从基础性的初等数学走向富于挑战性的高等数学，并且面对令人眼花缭乱的转换，从有限量转向无限量，从离散性转向连续性，从肤浅的表象转向深刻的本质。所以，英语中通常在微积分一词calculus前面郑重地加上定冠词“the”，冯·诺伊曼在上述评价中就是这样做的。“the calculus”（微积分） 这种称谓同“the law”（定律）相似，用“the”特指微积分是一个浩如烟海的、 独立存在且令人敬畏的科目。

一如任何重要的智力探索过程，微积分有着五彩斑斓的发展史和光怪陆离的史前史。西西里岛锡拉丘兹城的阿基米德（大约公元前287—公元前212）曾用我们现在所知的一种最早的方法求出某些几何图形的面积、体积和表面积。在漫长的800余年后，法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）采用一种非常现代的方法确定了曲线的切线斜率和曲线下面区域的面积。他们以及其他许许多多著名的前辈数学家们把微积分推上了历史舞台。

不过，这不是一本描写数学先驱们的书。不言而喻，微积分在很大程度上应归功于以往的数学家，恰如现代艺术在很大程度上应归功于过去的艺术家一样。但是，一座专题博物馆—例如现代艺术博物馆，并不需要用一间又一间陈列室去展览对后世有影响的前现代艺术作品。就是说，这样一种博物馆的展览可以从中期开始。 所以，对于展示微积分创建的历程，我想也可以这样做。 因此，我将从17世纪的两位学者艾萨克·牛顿（1642—1727）和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646—1716）开始，正是他们两人促成了微积分的降生。莱布尼茨在1684 年的一篇论文中率先发表了他的研究成果，文章的标题中包含一个拉丁词 calculi（一种计算系统），这个词后来就用来指代这门新生的数学分支。第一本教科书在十几年之后面世，微积分（the calculus）的名称在书中被确定下来。

其后几十年，其他几位数学家先承接了挑战。在这些先驱者中，最杰出的人物当推雅各布·伯努利（1654—1705）和约翰·伯努利（1667—1748）兄弟二人，以及举世无双的莱昂哈德·欧拉（1707—1783）。在他们的研究成果中有成千上万的页面涉及最高品位的数学，研究范围扩展到包罗极限、导数、积分、无穷序列、无穷级数以及其他许许多多主题在内的各个方面。这个四处延伸的题材带有一个称为“分析学”的总标题。

由于复杂性的日益增加，有关基本逻辑的各种困难问题也接踵而至。尽管微积分强大有力又具有实用价值，但是它建立在一种不牢靠的基础之上。这使数学家们认识到，需要按照欧几里得几何的模型，采用一种精确和严格的方式重建这门学科。这样一项紧迫的任务是由19世纪的分析学家奥古斯丁·路易·柯西（1789—1857）、格奥尔格·弗雷德里希·贝尔哈德·黎曼（1826—1866）、约瑟夫·刘维尔（1809— 1882）和卡尔·魏尔斯特拉斯（1815—1897）完成的。这几位数学大师以前所未有的热忱工作着，他们不辞艰辛，确切地定义了所用的术语，并且一证明了到那时为止被数学界毫无争议地接受的各种结果。

但是，一些问题的解决，推开了另外一些问题的大门—这是在科学发展中经常发生的事情。在19世纪下半叶，数学家们利用这些逻辑上严密的工具构造出大量奇特的反例，对它们的认识让分析学具有了空前的普遍性和抽象性。我们从格奥尔格·康托尔（1845—1918）的集合论以及后来的维托·沃尔泰拉（1860—1940）、勒内·贝尔（1874—1932）和亨利·勒贝格（1875—1941）等学者的成就中，可以明显看出这种趋势。 到20世纪初，分析学已经汇聚成包含无数概念、定义、定理和实例的一座宝库—— 并且发展为一种独具特色的思维方式，因此确立了它作为一个至高无上的数学体系的地位。

我们要从这座宝库中取出一批样品，目的是考察上面提到的那些数学家获得的成果，并且以一种忠实于原貌同时又让当今读者能够理解的方式展现出来。我将探讨那些能够说明微积分在其形成年代的发展状况的定理，认识那些最卓越的天才创建者们。简言之，本书是一部翻开这段令人神往的历史的“重要定理”集。 为了达到这个目标，我仅限于介绍少数有代表性的数学家的工作。首先我要坦诚披露：对于人物的安排是由本人的鉴赏倾向决定的。本书收入像牛顿、柯西和魏尔斯特拉斯这样一些数学家，他们会出现在任何一本类似的书中。选入另外一些数学 家，如刘维尔、沃尔泰拉和贝尔等人，更多地是出于我个人的喜好。至于其他一些 数学家，如高斯、波尔査诺和阿贝尔，他们则不在我的考虑之列。

同样，我讨论的某些定理是数学文献的所有读者都熟知的，尽管它们原有的证明对于不精通数学史的人而言是离奇的。莱布尼茨1673年关于“莱布尼茨级数”几乎不被人们承认的推导，以及康托尔1874年关于连续统不可数性的鲜为人知的首次证明，就属于这种情况。另外一些定理虽然在数学上是司空见惯的，但是很少出现在现代教科书中—这里我所指的是像魏尔斯特拉斯构造的处处连续而无处可微的函数的结果，当他在1872年把这个结果提交给柏林科学院时引起了数学界的震惊。至于我的某些选择，我承认，是十分怪异的。例如书中包含欧拉对积分

的估值，这不过是为了展现这位数学家在分析学方面的奇才。

书中的每一个结果，从牛顿的正弦级数的推导，到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，都处于所在时代的研究前沿。总的说来，它们记录了分析学随着时间的演进过程，以及参与者们在风格上和实质上的变化。这种演进是引人瞩目的，因为可以将勒贝格1904年的一个定理同莱布尼茨1690年的一个定理之间的差别，比拟为现代文学同英国古典英雄史诗《贝奥武甫》之间的区别。尽管如此，我仍然相信每个定理都显示出值得我们关注甚至赞美的独创性—这一点是至关重要的。 自然，打算凭借考察几个定理来刻画分析学的特征，犹如试图通过采集几点雨滴来描绘一场雷雨的特征，所表达的观念不可能全面。为了担负这样一项任务，作者必须采纳某些恰当的限制作为准则。

我的准则之一是避免贪大求全，去写一部描写分析学发展进程的全面的历史书。无论如何，这是一项过于宏大的任务，何况已经出版了许多论述微积分发展的著作。 我所喜爱的一些书籍已在正文中明确提出，或者作为资料列入参考文献。 第二条准则是把多元微积分和复分析排除在外。这样做或许是一种令人遗憾的选择，不过我相信是正确的。据此把这本书的内容被置于某种可以控制的范围内，从而增添叙述的连贯性。此种限制同时把对读者背景的要求降低到最低程度，因为一本只讨论一元实分析的书，能够理解它的读者将是最广泛的。

这就提出预备知识的问题。针对本书面对的读者，我写进许多技术细节，所以只要具备最基本的数学知识就能理解书中的定理。某些早期的结果要求读者有毅力看完不止一页的代数运算。至于后期的某些结果则需要纯粹抽象的判别能力。一般而言，我不会对数学上缺乏勇气的人推荐此书。 同时，为力求达到简明扼要，同一本标准的教科书不同，我采用比较随意的写法。 我的本意是想让这本书对于那些或多或少具备大学数学程度的读者，或者那些没有 被随处可见的积分或ε符号吓倒的读者来说，更容易接受。我的目标是使预备知识刚好够用于理解所述主题，但是又不能再少。要是不这样做，将会使内容索然寡味，无法达到我的更大目标。

所以说这首先不是一本数学家的传记，也不是一部微积分的历史，更不是一册教科书。事实上，尽管在书中我有时记述传记材料，有时探讨某个主题同另一个主题之间的联系的历史，而且有时也采用教科书的方式介绍新奇的（或者久已被遗忘的）概念，我仍要指出这一点。不过我最初的动机是很简单的：同读者分享分析学的丰 富历史中为人们喜闻乐见的某些结果。

同时，这引起我作最后一点说明。 在多数学科中存在着一种传统，那就是研究卓越的先驱们的主要著作，那些先驱乃是学科领域中被称为“大师”的杰出人物。学文学的学生要拜读诗人和剧作家莎士比亚的作品；习音乐的学生需聆听作曲家巴赫的乐曲。然而在数学界，如果说这样一种传统不是完全没有的话，那么至少也是非常罕见的。本书是想使这种局面得以改观。不过我不打算把它写成一部微积分的历史，而必须把它作为展示微积分宏伟画卷的陈列室。 为了这一目的，我汇集了若干杰作，只不过它们不是绘画大师伦勃朗或者凡高创作的油画，而是欧拉或者黎曼证明的定理。这样一座陈列室或许有一些独特之处，但是它的目标同一切有价值的博物馆一样：成为一座优异的知识宝库。

像任何陈列室一样，这座陈列室的藏品中仍然存在空白。也像任何陈列室一样，这座陈列室不可能为人们希望展出的所有收藏品提供足够的空间。虽说有这些局限性，但是当一位参观者离去时，他必然会对天才人物们充满感激之情。同时，那些徜徉于展品之间的人们将从最终的分析学中体验到数学中最深奥的想象力。

第1章 牛顿

艾萨克·牛顿不但是数学上的开创性人物，而且是整个西方思想史上举足轻重的人物。当他出生时，科学尚未确立对中世纪迷信至高无上的统治地位，而在他去世时，理性时代已经步入全盛时期。这一不同寻常的转变在一定程度上应归功于他的贡献。

作为数学家，牛顿被推崇为微积分或者他为之命名的“流数术”的创立者。微积分的起源要追溯到17世纪60年代中期，那时牛顿还是剑桥大学三一学院的一名学生。 在那里牛顿专心研究勒内·笛卡儿（1596—1650）、约翰·沃利斯（1616—1703）以及三一学院第一位卢卡斯数学教授艾萨克·巴罗（1630—1677）这样一些先驱们的著作，但是很快他就发现自己进入了一个从未有人涉足的领域。在接下来的几年中， 牛顿永远地改变了数学的面貌，传记作家Richard Westfall把他这几年描绘为一个“光芒四射的活动”时期。到1669年，巴罗本人将他的这位继任者和同事形容 为“我们学院的一位同伴，非常年轻……，但却是一位具有非凡天赋和卓越才能的人物”。

在本章，我们来考察一下牛顿早期的如下几个成就：将某些表达式转换为无穷级数的广义二项展开式，求无穷级数的逆级数的方法，以及确定曲线之下的面积的求积法则。最后我们介绍一个惊人的结果，即一个角的正弦的级数展开。关于二项展开 式的最早描述出现在他回答莱布尼茨询问的《前信》中，那是在他完成最初的研究工作很久以后。本章其他素材来自牛顿1669年的论著《运用无穷多项方程的分析 学》，这本著作通常简称为《分析学》。

尽管本章仅限于讨论牛顿早期的工作，但是需要指出，牛顿“早期的工作”几乎总是超越其他任何人深思熟虑的工作。

广义二项展开式

截至1665年，牛顿已经发现将二项式展开（他的说法是“化简”）成级数的简单方法。对他而言，这种化简不仅是用另一种形式重建二项式的手段，同时也是通向流数术的大门。这个二项式定理是牛顿众多数学发明的起点。

其中A ，B ，C , …分别代表前一项，我们将在下面举例说明。这就是著名的牛顿 二项式展开式，虽然这种形式或许是新奇的。

牛顿得到

牛顿将这种简化比作是从平方根到无穷小数的转换，并且不遗余力地推崇这一运算 的好处。他在1671年写道：这是一种产生无穷级数的简便方法，所有复杂的项……都可以简化为一类简单的 量，即分子和分母都是简单项的分数的无穷级数，这样将会消除那些其原始形式 看起来几乎难以逾越的困难。

的确，将数学家从不可逾越的难题中解脱出来是一件值得做的事情。

牛顿通过将级数平方 并检查其结果来“检验”式（3）这样的展开式。如果我们也这样做，并且限制取次数不超过x^8的项，得到

牛顿将这样的计算当作让人信服他的普遍性结论的证明。他断言“尽管我们这些凡人的推理能力非常有限，既不能表达也不能想象这些等式的所有项，就像我们无法确切知道那些量从何而来一样”，但是“可以把对有限项等式的一般分析”推广到这样的无限项表达式。

逆级数

在描述把某些二项式化简为形如

的无穷级数的方法以后，牛顿进一步寻找通过z的项把x 表示成级数的方法。用现在的术语，他是寻找逆级数关系。所得到的方法对代数学并未产生显著影响，但是随后将会看到，我们对它的关注是正确的。像牛顿的做法一样，我们通过一个特例来描述求逆级数的过程。

将上式展开并整理后，得到

下一步，舍弃p的2次方项、3次方项和更高次方项，再求解，得到

忍耐力的牛顿似乎可以将这样的计算（几乎）无限地 延续下去。但是，牛顿最终也乐于回过头来审视结果，寻找某种一般的表达形式。牛顿这样写道：“让考察停留在这里，顺便指出，当第5项或者第6项……为已知时，如果愿意的话，一般来说，通 过观察这一过程的相似性，可以把推导随意进行下去”。

到目前为止，所讨论的方法（广义二项展开式和逆级数）将成为牛顿手中强有力的工具。然而，在我们真正评价这位大师的成果之前，还有最后一项必备知识。

《分析学》中求面积的法则

牛顿在1669年所写的《分析学》一书中，承诺要论述求面积的方法，“我在很早以前已经发明了通过无穷项级数来计算曲线之下面积的方法”。这不是牛顿第一次提到他的流数发明，他在1666年10月撰写的一本小册子《流数简论》中就说过同样的话。《分析学》对那本小书做了修订，展示了这位正在走向成熟的思想家的超人智慧。当代学者发现了一个奇特的现象：除了几位幸运的同事外，神秘的牛顿没有对公众公开这份手稿。直到1711年，其中的许多结果已经由其他人发表之后，这份手稿才印制成书。虽然如此，更早的写作年代和杰出的作者身份表明有理由把本书描绘为“也许是牛顿所有数学著作中最值得称赞的”。

该书以求“简单曲线的面积”的三条法则的一个命题开始。在17世纪，英语中积分（quadrature）的含义是求面积，所以，这三条法则就是积分法则。

仅仅到了《分析学》一书的最后，牛顿几乎像事后反思一样才注意到“留心的读者”会想看到法则1的证明。3留心的读者总是不乏其人的，所以我们在下面给出他的论证。

到这一步，他写道：“如果我们假定Bβ为无限减小并消失的量，或者o 为零，那 么，v 和y在这种情况下相等，并且那些乘以o的项将消失”。他断言，当o变成零时，式（8）中所有包含o 的项也变成零。与此同时，v 同 y 相等，这就是说，图1-2中矩形的高BK 将等于原曲线的纵坐标BD 。通过这种方式，式（8）变换成

现代读者的反应很可能是，“别那么快，艾萨克！”当牛顿用o作除数的时候，o无疑不等于 零。但是过了一会，o 就变成零了。一言以蔽之，这里埋伏了隐患。 这种零与非零的对应在随后的一个多世纪一直困扰着分析学家们。本书后面将更多地讨论这个问题。

这是一种特别扭曲的逻辑。从曲线之下的面积积分z导出y 的方程之后，牛顿断言这种关系在相反的方向也存在。

这样的论证给我们留下杂乱无章的感觉，因为其中包含很大的逻辑漏洞。牛顿数学论文集的编辑Derek Whiteside把这个求面积的证明恰当地描写成“流数术的一种简洁的难以理解的形式”。另一方面，记住这个起源是很重要的。牛顿在微积分漫长的创建过程的开头就给出了法则1的证明。在他那个时代，这个证明是开山之作，并且他的结论是正确的。Richard Westfall在其评论中说，“然而概括地说，《分析学》确实展示了流数方法的整体范围和威力”，看起来这是真实的。

无论如今的评判如何，牛顿当初是感到满意的。牛顿在《分析学》中没有给出证明的另外两条法则如下：

法则2 由简单曲线构成的复杂曲线的面积：若y 的值由若干项构成，那么它的面积等于其中每一项的面积之和。

法则 3 所有其他曲线的面积：如果y的值或者它的任何项比上述曲线更复杂，那么必须把它分解成更简单的项……，然后应用前面两条法则，就可以获得欲求曲线的面积。

牛顿的第二条法则断定有限项和的积分等于各项积分的和。他用了两个例子来说明这条法则。第三条法则断言，当遇到更复杂的表达式时，首先需要将其“化简”成无穷级数，再通过第一条法则对级数的每一项求积分，然后再对结果求和。 最后这条法则是一个富有吸引力的主张。更恰当地说，这是最后一个前提条件，牛顿需要用它导出数学上的一个重大结果：一个角的正弦的无穷级数。出自《分析学》的这个重要定理是这一章最有意义的主题。

牛顿的正弦级数推导

考虑图1-3中以原点为圆心和半径等于1的圆的四分之一。同以前一样，令AB=x,BD=y 。牛顿的第一个目标是求圆弧αD的长度的表达式。

图1-3

牛顿的正弦级数和余弦级数（1669）

对我们来说，这种推导所兜的圈子看起来是不可思议的。我们现在把正弦级数视为不过是泰勒公式和微分学的一个微不足道的推论而已。所以我们自然而然地以为它 一直就是这样简单的。但是，正如我们所见，牛顿克服了重重困难才得到这个结果。他运用了积分法则而不是微分法则；他从（我们认为）偶然的反正弦级数产生正弦级数；同时，他需要运用他所提出的复杂的逆过程方案来完成全部推导。

这个历史片段提醒我们，数学并不是按照现在教科书中的方式发展的。相反，它是通过断断续续地在出乎意料的惊喜中发展起来的。事实上，那是相当有趣的，因为历史在一下子变得有意义、美好和出乎意料的时候，它是极具吸引力的。 谈到出乎意料这个话题，我们就Derek Whiteside在上面那段话中的评判补充一 句。看起来牛顿并不是第一个发现正弦级数的人。印度数学家尼拉坎塔（1445— 1545)在公元1545年描述过这个级数，并且把它归功于更久远的前辈马达维（生活在公元1400年前后)。关于这些发现和印度数学中的优良传统的叙述可以从文献4 和 5 中查到。但是，这些成果在牛顿活跃的时代的欧洲自然不为人们所知。

我们以两点评论作为本章的结束语。第一，牛顿的《分析学》是一本真正的数学经典，是任何一位对微积分的历程感兴趣的人都应拥有的读物。从中可以瞥见这位历史上最具创造力的思想家在其才智发展的早期阶段的情况。 第二，用现在的眼光看来，一场轰轰烈烈的革命开始了。年轻的牛顿以其超越时代的专业才能和洞察力把无穷级数和流数法结合起来，将数学的前沿推向若干新的发展方向。与他同时代的詹姆斯·格雷戈里（1638—1675）评论过去的初等方法对于产 生同样关联的这些新方法，就如同“黎明的晨曦对于正午的阳光”。正如我们在 后面几章将要多次看到的，格雷戈里这种令人陶醉的描述是恰如其分的。同时，第 一个走向这条激动人心的道路的人是牛顿，他确实不愧为“一位具有非凡天赋和卓 越才能的人物”。