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【课程】西南科大网教学院_数学分析34_9.6 函数的幂级数展开

2017-11-06  百眼通

9.6  函数的幂级数展开

掌握的幂级数展开,并会用它们将一些简单的函数间接展开成关于的幂级数。

9.6.1函数的幂级数展开式

定理9.6.1  若函数在区间内能展开成幂级数,即

则函数在区间内存在任意阶导数,且

                                (1)

 

其中

定义9.6.1  处存在任意阶导数,则级数(2)称为函数处的泰勒(Taylor)级数,记作

                                   (3)

其系数称为泰勒系数(时,为).

    级数(2)时,称为的马克劳林(Maclaurin)级数,记作

                                            (4)

定理9.6.2  若函数内存在任意阶导数,且对内任意一点泰勒公式的余项,则

定理9.6.3  若函数内存在任意阶导数,且存在正数M,对任意自然数,对内任意一点,有

                                    (5)

9.6.2 初等函数的幂级数展开

典型例题:

9.6.1  将函数展成马克劳林级数.

      由于,对于任意,均有

    根据定理10.6.3, 内可展成幂级数.因为r是大于零的任意实数,所以,上可展成幂级数,即

                                    (6)

    此题也可直接证明拉格朗日余项的极限为零.

9.6.2  将函数展成马克劳林级数.

    由于,且

据定理10.6.3, 函数可展成马克劳林级数.

因为,故

             (7)

同理

             (8)

9.5.3  将函数展成马克劳林级数.

     当时,有

 

于是,的马克劳林级数是

                (9)

    由比式判别法可知:(9)式的收敛半径,下面在上考察它的柯西余项:

由比式判别法,级数时收敛,故有                   .

又由于时,有,从而有

       

再当时,有,于是,.

    故当是与n无关的有界量;当时,也有同样结论.综上所述,当时,.故

 

               ,          (10)

    在端点处,(10)式是否成立与的取值有关,其结果如下

    (1) 时,收敛域为

    (2) 时,收敛域为

    (3) 时,收敛域为

    (10)式中为正整数n时,右端只有n+1项,此时即为二项式定理.

    时,就得到:

                  (11)

    若把,又得大家熟知的几何级数:

                        (12)

    时,得到 

     (13)

其中通项可记为       

    时,得到

                         (14)

    对于一般的函数而言,求其n阶导数的通项公式比较困难,而研究其泰勒公式的余项在某区间内趋于零的问题则更为复杂,因此,直接从定义出发求一般函数的泰勒级数是相当困难的.更多的情况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等方法,间接地求得函数的幂级数展开式.

9.6.4  的马克劳林级数.

       因为         (15)

所以,将(15)式从0x逐项积分得

    (16)

同理,   

                    (17)

(16)式减去(17)式得

               (18)

9.6.5  将函数展成马克劳林级数.

 因为,故逐项求导就有

 

 

9.6.6  将函数处展成幂级数.

    先将,在利用,作变换,即得的幂级数展开式.故有

9.6.7  求非初等函数的马克劳林级数.

    因为

逐项积分得:

.

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