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数学分析中极限求法的教学探讨

2018-05-05  光头强阳...
    摘要:极限思想贯穿了数学分析课程内容的始终,极限计算是数学分析课程中的一个重要内容.由于极限计算的方法分布在数学分析课程的不同章节,学生不能系统地掌握极限的计算,对此笔者根据自己的教学在这方面进行一些探讨.在教学中让学生掌握极限计算的各种方法,不但可以准确简捷地计算极限,而且可以培养提高学生分析和解决问题的能力.
中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-4333061.htm
  关键词:数学分析;函数极限;计算
  中图分类号:G642.41 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2013)33-0097-03
  极限是数学分析课程中最重要、最基本的概念之一.极限思想贯穿数学分析课程内容的始终,极限计算是数学分析课程中的一个重要内容.极限计算的方法分布在数学分析课程的不同章节,学生不能很好地系统地掌握极限计算的方法。对此笔者根据自己多年的教学在这方面进行一些总结,对数学分析中的极限计算方法进行系统的分析探讨,让学生掌握极限计算的各种方法,开拓学生视野,培养学生的综合解题能力。
  一、极限计算的基本方法
  1.利用极限的四则运算法则计算极限。利用极限的四则运算法则求极限是最基本、最直接的方法,但必需注意适用的条件极限.有时可以直接利用极限的四则运算法则即能计算,有时可能无法直接利用极限的四则运算法则进行计算,这就要求我们对所给的对象进行化简、变形处理,然后再利用四则运算法来计算。
  2.利用两边夹定理计算极限。利用两边夹定理可将考虑的对象进行适当缩小和放大,从而得到原对象的极限。
  3.利用单调有界准则计算极限。这种方法适用于求数列的极限,应用单调有界准则计算数列的极限时,首先可用数学归纳法或不等式的放缩法来讨论数列{xn}的单调性和有界性,然后再令■xn=a,然后解关于a的方程,从而求得出■xn=a.
  4.利用两个重要极限计算极限。利用两个重要极限计算极限关键在于将考虑对象化成满足重要极限条件的形式.
  5.利用洛必达法则计算极限。这种方法适用求未定式■型和■型的极限计算,其他的未定式极限都需先化为■型或■型后再求极限,但要注意这种方法只适用于导数存在的形式。
  6.利用函数的连续性计算极限。因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区间内的点,则■f(x)=f(x0),从而计算极限就等于计算该点处的函数值。以上方法是计算极限的基本方法,作为大学数学专业的学生是必须熟练掌握的。
  二、极限计算的一些特殊方法
  1.利用左右极限计算极限。函数f(x)在x0处极限存在的充要条件是在该点处它的左极限及右极限都存在且相等,且■f(x)=■f(x)=■f(x).这种方法对分段函数求极限问题应用尤为重要,它是计算分段函数求极限问题的有力工具。
  例1.已知f(x)=2xx>00 x=01+x2x<0,求■f(x).分析:由于f(x)是分阶函数,计算f(x)在分阶点处的极限只能通过计算该点处它的左极限及右极限得到■f(x).而■f(x)=■2x=1,■f(x)=■(1+x2)=1,于是■f(x)=1.
  2.利用无穷小的性质计算极限。
  例2.求■(x2+y2)sin■=0.分析:由于x2+y2在(x,y)→(0,0)时是无穷小,sin■≤1是有界量,于是得到 ■(x2+y2)sin■=0.
  3.利用等价无穷小计算极限。利用等价无穷小代换求函数的极限时,一般只在以乘除形式出现时使用,同时还应该熟悉一些常用的等价无穷小。
  例3.计算■■.分析:由于■-1:■(x→0),1-cosx:■(x→0),于是■■=■■=1.
  4.利用导数定义计算极限。由于f'(x)=■■,从而可以利用导数定义计算极限。
  例4.证明:若f'(x0)存在,则■■=2f'(x0).分析:将题中极限表达式变形为导数定义中的极限形式表示即可证明。
  5.利用定积分定义求极限。由于■f(x)dx=■■f(ξi)Δxi,因而可把黎曼和■f(ξi)Δxi的极限转化为定积分■f(x)dx,转化过程掌握好两个关键:一是由f(ξi)确定被积函数f(x),二是由Δxi确定积分区间[a,b].当在定积分存在的前提下,我们选取区间[a,b]某种特殊的分割T和区间[a,b]一个特殊的点集{ξi},可以得到一类特殊的和式的极限,从而可以利用定积分解决此类函数极限的求值,即当所求极限的表达式或经过变换后的表达式是一个 n项和的形式时,可以考虑用定积分定义来计算, 其关键在于把和式写成积分和的形式。
  例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析: 对所求极限进行变形:■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f(x)=sinx在[0,π]区间上的一个积分和.这里所取的是等分分割。Δxi=■,ξi=■为小区间 [xi-1,xi]=■,■的左端点,i=1,2,…,n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■(-cosx)π0=■.
  6.利用级数收敛的必要条件计算极限。利用级数收敛的必要条件:若■un收敛,则■un=0.运用这个方法首先判定级数收敛,然后求出它的通项的极限。
  例6.求■■.分析:设un=■,由比值判别法知■un收敛,这样就得到了■■=0.
  7.利用微分中值定理或积分中值定理计算极限。
  例7.求■■sinnxdx.分析:由于sinnx在0,■满足积分中值定理的条件,从而在0,■至少存在一点ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ,于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0.
  8.利用麦克劳林展开式或泰勒展开式计算极限。设函数f(x)在x=0的某个邻域内有定义且f(n)(0)存在,则f(x)的具有皮亚诺余项的麦克劳林展展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+■x2+…+■xn+0(xn),对某些较复杂的求极限问题,可以利用基本初等函数带皮亚诺型余项的泰勒公式来求极限。
  例8.计算■■.分析:利用基本初等函数带皮亚诺型余项的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0(x4),e■=1+-■+■+0(x4).于是将上两式代入所求极限即得■■=-■.
  9.利用级数的和函数计算极限。计算此类极限时常可以辅助性的构造一个函数项级数使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
  例9.计算■■(-1)n■x2n+1.分析:设S(x)■(-1)n■x2n+1,从而只要计算出S(x)即能计算所求的极限。利用函数项级数和函的分析性质容易计算出S(x)=arctanx,x∈[-1,1],于是得到:■■(-1)n■x2n+1=■arctanx=■.
  以上归纳了数学分析课程中计算极限的一些方法,当然还有一些其他的计算方法.在讲授完数学分析的课程之后,教师如果能系统地对极限计算方法进行总结,并适当布置一定的数量的课外习题让学生去做,要求学生根据题目的不同灵活选择适当的方法,一定起到事半功倍的效果,那么学生对有关极限的计算就比较容易解决了,从而培养提高学生分析和解决问题的能力。
  参考文献:
  [1]华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)[M].北京:高等教育出版社,2006.
  [2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北:崇文书局,2003.
  [3]常敏慧,杨建雅.新建本科院校数学分析习题课教学模式探讨[J].运城学院学报,2010,28(2).
  [4]杨泽恒.数学分析课程极限理论教学的一些实践与思考[J].大理学院学报,2007,(6).
  基金项目:本文由国家自然科学基金项目(11161018)和广西教育厅科研项目(201010LX463、201106LX589)资助
  作者简介:林远华(1964-),男,副教授,硕士,研究方向:微分方程;卢钰松(1979-),女,讲师,硕士,研究方向: 概率统计。
  通讯作者:林远华,卢钰松。 

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