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高数高频易错点 重点题(考前务必请看)

2014-12-13  随心飞翔94

主编的微信:idaxue8,期待和你成为朋友!




1.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道:lim(x趋向0)sinx/x=1,但是当x趋向无穷limsinx/x=0,原因:无穷小量×有界函数=无穷小量。这里:|sinx|<=1,1/x是无穷小量。再次重申:请注意x趋向什么。


2.关于极限的保号性。若 lim f(x)=A , A>0或(A<0),则存在δ>0,当x取x0的δ去心


  x->x0 邻域时,f(x)>0(或f(x)<0)。这是最原始结论:如果结论中不取去心邻域,那么结论是错的。比如举例分段函数:当x=0时,f(x)=-1,当x不为0时,f(x)=x^2+1,显然lim(x趋向0)f(x)=1>0,然而并不满足f(x)>0(在x=0处)。介绍这个定理的作用:解一类题。请看:已知f(x)可导,且当x趋向0,limf(x)/|x|=1,判断f(x)是否存在极值点。 因为f(x)可导,那么f(x)必连续,因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1,那么我们得到结论:lim(x趋向0)f(x)=0,否则不会存在极限的,又因为f(x)连续,那么f(0)=0,令f(x)/|x|=g(x),根据保号性,因为limg(x)=1>0,那么:g(x)>0,那么由于|x|在x趋向0时>0,所以f(x)>0,而0=f(0),所以f(x)>f(0),根据极小值的定义,x=0为f(x)的极小值点。 ★综上:已知limg(x)=a,a的正负已知,可以使用保号性。


  3. 请注意当题目说:x趋向无穷时,那么题目包含两个意思:x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有e^x,arctanx,等等类的题目时,请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充:在含有绝对值的题目时,这点尤其重要,如果说x趋向无穷,那么在去||时,必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷,当然题目不一定非要以绝对值出现,有些题会以√(x^2)出现。


  4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀:同c异s,s异c同。前者用来记住积化和差,后者用来记住和差化积。举例:sinacosb=?因为它们的三角函数名异名,那么使用s,sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)),★说明:1,纯粹个人记忆方法,接受不了也正常;2,这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓,比如所有的积化和差,右边是1/2(()+(或者-)());3,实在不会,死记硬背吧,或者请教别的大神。


  5. 关于极值点的3种判别法:■法一:定义法;■法二:若f(x)可导,f'(xo)=0,且f’’(x)不为0,则f(x)在xo处取得极值,若二阶导<0,取得极大;>0,极小。法三:(n阶判别法):若f'(xo)=二阶导(xo)=…=n-1阶导(xo)=0,且n阶导不为0,若n为偶数,且n阶导>0,极小,反之,极大;若n为奇数,n阶导不等于0,则(xo,f(xo)为拐点,xo不是极值点。证明:略


  6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚),我们说一般地,y''表示对x的二阶导数,不是对参数t的二阶导数。y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx,对于求dy/dx,我们采用求关于t的y’(t),和关于t的x'(t),因为dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。举例:已知y=cost,x=t^2,那么求dy/dx,d^2y/dx^2。标准解答:1:y'(t)=-sint,x'(t)=2t,所以dy/dx=-sint/2t;2:d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx={d[(-sint)/2t]}/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3) ………★综上:二阶导是一个整体记号,不是简单的除法。


  7.等价无穷小只能使用于乘除(题外:其实它可以使用于加减的,这里不说,以防混淆)。比如:初学者可能会认为这个极限为0,lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x^3=0[计算思路:(x-x)/x^3=0],事实上它等于1/2.原因:提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去背的,没有人可以帮你。


  8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一:把变量当做常量。比如:y=x^x,标准解答lny=xlnx,两边对x求导,y'/y=1+lnx,所以y'=(x^x)(1+lnx)。错误做法:y=x^x,y'=x(x^(x-1))=x^x。(但愿你们找到了错误在哪),错误二:搞不清楚对x求导是什么意思。当然:y=x^2求导大家都会吧,y'=2x,当出现对y^2=x^2,很多同学就迷茫了,我们说y是x的函数,所以最后必须乘y',对y^2=x^2求导,得到:2yy'=2x.再则:对隐函数求导我们把其中一个看成常量,比如y=yx+x^2,那么求导:y'=y+y'x+2x。★综上:对隐函数求导,若是单独y,求导为y',一切关于y的函数(比如y^2,lny,a^y等),先对这个函数求导再乘y'.


  9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题,与它的邻域无关,也就是说点可导,在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0 当x是有理数。


  f(x)=x^2 当 x是无理数。

  只在x=0处点连续,并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.

  10.无穷小×有界=无穷小,但是:无穷大×有界未必等于无穷大。正确结论:无穷大×有界=未知,比如:当x趋向正无穷,x,x^2始终为无穷大,而1/x,1/x^2为有界量。 注意到:x*(1/x^2)=1/x就是一个无穷小,而x^2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。

  11.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续,特别开心,他说易得:左导=右导=f(xo),你太天真了。其实:连续是说左极限=右极限=f(xo),可导是:lim(x->xo)f(x)=f(xo),且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里,当然一学期没上过一节课的同学,除外。补充:在一元函数微分学中,可导必然连续,连续未必可导(这个显然嘛,y=|x|在x=0处连续但是不可导)。


  12.很多初学者认为:∫(a到x)f(t)dt中,变量是t,这是错的,你忽略了变限积分的来历,自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住:这里x是变量,它求导=f(x)。


  13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比如0/0不是以0为分母,他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,我们习惯称为0/0形式。也就是说:若没有lim这个符号,0/0没有意义。事实上:再比如:货真价实的数字1,1^无穷 =1,若是(极限1)^无穷,则结果待定。★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如:0/0,1^无穷,无穷/无穷,等等7类运算。为此,产生了7种特殊的式子:不定式。由于结果不确定,所以称之为不定式。…………◆综上:我们现在学的是高等数学,几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论,但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论,并且注意区分。


  14.求数列极限不可直接使用洛必达,数列是整标函数,每个孤立点不连续,不可导,故不符合洛必达的条件1,为此:正确做法:先令n为x,再使用洛必达,最后换为n.


  15. 无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大[但是请注意:这里的无穷小除去了0。


  16.x趋向0,limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明,原因:(sinx)‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1,所以犯了循环论证的错误~


  17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件:

(1)x→a时, lim f(x)=0,lim F(x)=0;

  (2)在点a的某 去心邻域 内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的 导数 不等于0;

  (3) x→a时, lim( f'(x)/F'(x) )存在或为 无穷大

  则 x→a时,lim( f(x) / F(x))=lim( f'(x)/F'(x) ) ,◆◆◆请注意:1,第三点很容易被忽略,一般地:含有lim(x趋向无穷)sinx,或者cosx,是不会采用洛必达的;2,在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点,在求最后一步导时我们使用的是导数定义,也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来,因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件,所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义!3,单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。(如果你不注意以上这些,虽然在平常考试时有些老师不在意,但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)


  18.一般地:我们有以下结论:lim(x趋向xo)f(x)=a,则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。注意:★若a不为0,上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的],若a=0,上述结论逆命题仍然成立!


  19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。在使用极坐标时,应该同时注意到:θ和ρ的任意性。比如:(x,y)趋向(0,0),求lim(xy)/(x y),容易证明该极限不存在(一条路径:y=x,另一条:y=x^2-x),倘若使用极坐标,则得:limρ(cosθsinθ)/(cosθ+sinθ),此时有分母出现0的可能(取θ=45度),因此不确定该极限是否存在,本法失效,或者说:你无法证明(cosθsinθ)/(cosθ+sinθ)有界。综上:倘若使用极坐标,须同时考虑θ,ρ的任意性,不可盲目使用。


  20. 注意仅当y=f(x)时有:y'=f'(x)。若y=f(■),■不等于x时,y'不等于f'(■)。比如:y=f(x^2),y'=f'(x^2)2x,而不是等于f'(x^2)。下面说明f'(■)和[f(■)]’的区别:f'(■)表示已知f'(x)的表达式,并且把■当做x代入,这个过程是代值过程;而[f(■)]‘的意思是求导,至于对谁求导,则根据■确定。注意:仅当■=x时,f'(■)=[f(■)]’,即:f'(x)=[f(x)]’,其他情况没有这个式子。综上:[f(■)]’=f’(■)■’。


  21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导,“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。……………………………………ps:f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续,反之不然。


  22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式:asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u),其中u=arctan(b/a),强制要求a>0;asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x+u),其中u=arctan(-a/b),强制要求b>0。 ………………………………………………………………■ps:为什么要强制要求?[以第一个为例,第二个同理]原因在于:我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值,好处在于u在[-派/2,派/2]上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调),事实上,u的范围就是[-派/2,派/2],由此我们再来看给出的公式:asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u),将右边展开得:√(a^2+b^2)cosusinx+√(a^2+b^2)sinucosx,根据待定系数原则可得:cosu=a/√(a^2+b^2),倘若我们不控制a>0,比如取a<0的话,那么cosu<0,显然u的范围已经落在二三象限中去了,而我们规定u在[-派/2,派/2],即一四象限,由此出现矛盾,所以a必须大于0,u的范围才吻合公式左右。

  23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限?其实,原因很简单。在于:dφ,dθ,dρ,dx,dy,dz,dr都是正数。

  24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。我相信不止一个人考虑过这个问题。请看:求定积分I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx,当然可以用面积来做,这里为了说明疑问,不用面积做,而用三角换元做。……………★书上对定积分换元法的说明是这样的:设f(x)在[a,b]上连续,【当t从α变到β时,x=φ(t)要从φ(α)=a(单调地)变到φ(β)=b,这里不必要求φ(t)单调,即不必要求x=φ(t)有反函数存在】,但不允许x=φ(t)的取值变到区间[a,b]之外。此外,还要求φ(t)在[α,β]上具有连续的导数φ’(t),这时,定积分的换元公式才成立。…………………………■:简单说就是满足两个条件,单值加连续导数。…………■下面来做本题:令x=asint,则dx=acostdt, 【当x=0时,t取0,x=a时,t取:派/2】,对于这个【】里面的过程有些同学无法接受,[问题1]凭什么x=0,t要取0,为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t? [问题2]凭什么一定要上限>下限。 解答问题1:首先为了满足单值,不可以取一个形如[派,5派/2]的区间去对应原来的[0,a]尽管相对于x


  尽管相对x=asint来说不存在任何问题,但是你忽略了定积分换元的条件[单值],在此区间[派,5派/2]内x=asint不是单值的[意思是:令x=k,解得t不唯一]。所以不能取一个区间不满足单值的。比如:你取一个[0,派/2]这样的就是合适的,当然你取[派,派/2]这个也是对的,为什么请看证明?我们无疑地知道I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然],下面通过计算来说明为什么取t属于[派,派/2]也是正确的。I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到(派/2)]a|cost|costdt。[说明:这里开根号注意是绝对值],由于此时t的范围是[派,派/2],所以cost<0,去绝对值时请注意这点,下面再用降幂公式易证答案正确。 ……………ps:你取任何一个单值区间满足题意都是正确的 。只不过计算过程的问题。 …………………………… 解答问题2:事实[问题1]证明在换元时可以上限<下限。 ■:综上:三角换元 可以取你想取的值,但是请注意使用条件以及计算的简便化。 末了附注:本题中a>0

  25.收敛级数加括号仍然收敛,发散级数加括号未知;正项级数敛散形不受加括号的影响。

高等数学重点题

教材:P21 4,10;P47 例五;P56 1;P58 例二;P59 1;P65 例二;P70 6

P72 例一;P74 总复习 2 习题1-10 2,3;P86 6;P87 13,14,15;P98 6,7,8,9,10,11;P103 1;P134 6 8 9 10;P138 例9 , 1;P154 12 P162 例7 ;P163 8 9 ;P164 15 16 ;P182 总复习 2 ;P198 例14 ;P207 2.(1)(6) (7)(11)(13)(24)(30)(32)(34)(41)(43) ;P209 例2 例3 例9 ;P213 1 6 24 ;P243 六(4)(5)(8) ;P247 例5 P251 例11 ;P253 一(8)(10)(18)(19)(20)(21)(22) ;P256 例1 例2 ;P258 例4 ;P260 一 (3)(7) ;P274 例1 例2 ;P278 例2 例7 ;P284 1 12


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