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导读 作者：刘晓雪 1,2，张亚辉 2，郭翰飞 3，谢素明 1，张有为 2 （1.大连交通大学 机车车辆工程学院，辽宁 大连 116028 2.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连 116021 3. 大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028） 来源：《计算机集成制造系统》2021年4月 摘要：针对紧固件在复杂组件中存在的建模问题，本文基于有限元的变形能提出了建立轴向等效刚 度特性的研究方法，应用 Python 开发了适用于 ABAQUS 的紧固件结构参数化分析插件，并进行了 相关参数对等效模型两种影响因素的研究。应用双重材料的试验方法，对上述研究进行了相应的验 证，证明了等效模型的准确性。开发了基于不同参数研究结果的等效模型应用插件并应用于某高速 车车下吊装结构的分析中进行数值验证，为包含有多个紧固结构的复杂组件建模分析提供了一种有 效的研究的手段。 0 引言 紧固件作为连接结构中最广泛使用的形式，通常决定着如飞机、动车组等单个复杂组件的设计 成败。以动车组为例，单节车体采用数千个紧固件进行各部分的连接，紧固件轴向承载的重要特性 是允许非常高的静态强度极限，同等级的紧固件静强度极限为 1000MPa 时，对应允许的交变应力仅 为 40-50MPa [1]。这意味着当紧固结构受到不同外载荷作用时，需要使用足够精确的刚度来保证紧固 件结构的设计准确性。目前国内外学者对于此类连接的研究主要采用弹性解析模型或数值分析方法 [2-6]。当载荷为轴向中心线或微小偏心可以采用 VDI2230 的线性模型，对于载荷作用线偏心较大需要 采用一些非线性模型[7-8]，而对更为复杂的载荷作用形式则需要采用有限元模型，上述分析中均涉及 到精确的紧固件及被紧固结构的刚度。紧固结构中各个组成部分的刚度可以反映整个结构承受轴向 载荷的行为，该载荷主要是指沿紧固件轴线的位移，然而，随着有限元的发展以及研究模型的细致， 研究者逐渐认识到原轴向位移假设的求解准确性需要进一步的提高[9-11]。Lehnhoff[12-14]通过对不同模 型进行接触区域节点的等效位移计算来模拟轴向位移，构成紧固件的各个组成部分在轴向载荷作用 下的变形规律难以精确的进行计算，Massol[10]通过实验对此类计算方法进行了验证，结果证明等效 位移计算并不理想。闫平[15]通过改变紧固结构接触端面的不平行度模拟了累积几何偏差的影响，分 析了各种参数对轴向刚度的影响，建立了影响因素与刚度的映射关系，并对刚度组成及变化范围进 行了定量分析。Wang [16]建立了紧固结构相互作用刚度模型，研究了相互作用刚度对预紧力变化的影 响，并用有限元模型进行了验证。李国强[17]对不同型号的紧固件进行了轴向拉伸试验，推导了各组 试验的轴向刚度理论公式并与试验值进行对比，验证了轴向刚度公式的正确性。上述分析中均建立 了轴向作用力与轴向位移之间的关系，但是轴向位移的等效计算并不精确。当紧固结构较为复杂时 或被紧固结构具有不同尺寸和材料特性的情况下，等效刚度并不容易获得。应变能是结构中伴随变 形而产生的能量增量，应变能等于施加在结构上的载荷所做的功，对于承受轴向载荷的紧固件各子 结构而言，通过有限元模型可以非常方便的得到其应变能，将各部分同化为具有等效刚度的弹簧元 件，从而避免了轴向位移的计算和测量，而位移测量是前述研究中发现的刚度误差主要来源，基于 有限元模型采用能量方法进行刚度的计算可以准确且简便的完成分析。 本文基于有限元应变能提出了建立轴向等效刚度特性的方法，避免了轴向位移的等效计算。应 用 Python 进行基于 ABAQUS 的二次开发，生成参数化模型建模插件，研究并推导基本参数的拟合 函数。在等效参数精确计算的基础上，建立对应的紧固件凝聚单元参数建模插件，并应用于具有大 量紧固件结构的组件建模，使有限元模型的建立保持简单高效。 1 紧固件轴向刚度等效 1.1 紧固件数值模型的校验 采用紧固件进行两个或多个组件连接的研究主要集中在两个方面：第一，紧固连接的刚度及其 对载荷的响应；第二，固定界面中接触压力分布的几何形状和大小。目前国内外学者对于此类连接 的研究主要采用弹性解析模型或数值分析方法[1]，计算紧固结构的夹紧性能和接头刚度并确定界面 压力分布。1964年Greenwood[3]在Sneddon等[4]的研究基础上，采用柱坐标(𝑟, 𝜃, 𝑧)，对如图1所示的均 布载荷𝑝(𝑟)作用在不同半径下的应力解析解，涵盖了从集中载荷到无限受压面积的极限情况如式(1)：
其中 n (𝑥)是𝑛阶第一类贝塞尔函数，板厚𝑧 ± ， 整个板厚的一半；𝑟⁄ ，𝜆 𝑎⁄ ，𝑎为载荷 作用的圆形区域半径如式(2)：
根据紧固件连接结构的特点，本文采用轴对称模型进行有限元分析。为了验证轴对称有限元模 型的合理性并保证应用基于有限元模型能量法的刚度计算准确性，应用两种材料和三种板厚，设计 了四个对比模型，模型基本参数如表1所列，定义模型名称为M1-M4。采用ABAQUS进行有限元模型 建立，并选取轴对称四边形单元(CAX4R)进行网格划分。
将Greenwood的解析解与上述设计轴对称有限元模型沿轴向方向的分析结果与进行对比，计算结 果如图2所示，解析解与M1-M4的有限元分析结果基本吻合，表明了采用轴对称有限元模型进行分析 的合理性，也保证了后续应用该轴对称有限元模型进行基于能量法紧固件等效刚度研究的准确性。
1.2 基于能量法的紧固件等效刚度原理 从整体变形能的角度出发，忽略等效位移求解方法中对局部变形的细致性要求，将如图 3(a)所 示的紧固件结构等效为如图 3(b)所示的弹簧模型，结合有限元模型以解决等效刚度的求解。其中𝐹和 𝛿分别为紧固件轴向力和位移，可以通过作用在有限元模型上各节点的𝐹𝑖和𝛿𝑖进行加和得到，同时也 可以从有限元模型的计算结果中分别提取被紧固件应变能𝑊𝑓和紧固件应变能𝑊𝑏。
将紧固件与被紧固件的接触部分由滑移产生的能耗定义为𝑊fric，在轴向力作用下该部分能耗如 式(3)所列：
通过紧固结构的有限元模型计算结果可以很方便的提取出𝐹，𝛿，𝑊 ，𝑊f即可由式和式得到紧固 结构的等效刚度，该方法不需要进行轴向位移的计算，同时由于有限元对变形能的精确求解，使得 刚度计算准确又简单[18]。 1.3 紧固件结构的参数化模型建立 建立包含有大量紧固件结构的复杂组件模型时，将每个紧固件都采用实体单元进行建立，不仅 需要耗费大量的建模时间同时也需要增加相应的计算成本。结构设计中通常将紧固件紧固过程中的 力学行为等效为弹簧元件的串并联关系，这种表述形式简便且适用于简化分析中不同几何尺寸及材 料参数的紧固结构。等效的结构刚度的公式如式(15)，𝐸s为子结构的弹性模量，𝐴𝑒𝑞𝑖为子结构等效的 截面积，𝐿𝑒𝑞𝑖为等效长度。
准确模拟等效模型的关键是确定紧固件的等效长度𝐿𝑒𝑞和等效截面积𝐴𝑒𝑞，对于如图4(a)所示的模 型，对应的等效模型长度和截面积如图4(b)所示，包含上下端部紧固件的等效截面积𝐴𝑒𝑞可以表示为 𝐴 和𝐴s，与之对应的等效长度𝐿𝑒𝑞分别为𝑙 𝛼 和𝑙𝑠 𝛽 ，𝛼和𝛽分别对应紧固件上端的修正系数和下端修正系数；等效截面积对应紧固结构的有效作用面积，当等效截面积𝐴𝑒𝑞为常数时，等效长度𝐿𝑒𝑞 为𝑙f (𝛼 𝛽) 。 紧固结构的几何参数包括：紧固件的规格公称直径 、紧固件上端直径 n、紧固件厚度𝑙n、紧固 杆长度𝑙f被紧固结构的直径 L，被紧固件厚度𝐿f，中间孔直径 h；材料参数包括：摩擦系数Coefficient of friction、紧固件弹性模量𝐸𝑏、密度𝐷𝑏、紧固件下端部弹性模量𝐸𝑛、密度𝐷𝑛、被紧固结构弹性模量 𝐸𝑓、密度𝐷𝑓。 在验证了轴对称模型的适用性基础上，为了研究不同参数对等效刚度的影响，假设紧固件下端 参数与上端相同，将紧固件和被紧固结构进行装配建立分析模型。应用Python基于ABAQUS进行整 个分析过程的参数化脚本文件定义，借助RSG (Really Simple GUI)构造出紧固结构参数化模型建模的 输入界面，如图5所示。参数类型分为几何参数(Geometric parameters)、材料参数(Material parameters)、 载荷及求解模型参数(Force and Job)，通过参数化建模求解并应用能量法得到等效刚度。
2 相关参数对等效模型的影响 基于能量法得到紧固件轴向刚度的前提下，合理建立两个因素等效长度𝐿𝑒𝑞及等效截面积𝐴𝑒𝑞即 可以准确完成等效模型的简化。本节对两个参数的相关影响因素展开研究，定义无量纲参量并进行 公式拟合，为建立等效模型提供基础数据。 2.1 等效模型长度修正系数 引入一个无量纲修正系数𝛾表征等效长度𝐿𝑒𝑞与紧固件直径 之间的关系，如式(16)：
在应用1.2节中的能量法得到紧固件准确刚度 𝑏的前提下，即可以开展对𝛾相关参数的研究。(1) 几何参数的影响 紧固结构自身的几何参数包括上端紧固部分的宽度 𝑛，高度𝑙𝑛和紧固件的厚度𝑙𝑓，引入无量纲参 数𝛼, 𝛽, 𝜀表征这三个几何参数与公称直径 的关系，可以对标准及非标准紧固件结构进行量化。选取 公称直径 分别为M12、M16、M24、M36为研究对象，参数取值如表2所列，其中摩擦系数𝜇 0.4， 所有材料均为钢。
应用Parametric modeling of fasteners进行紧固件的参数化模型建立及求解，基于能量法得到各模 型准确的紧固件刚度，进而求解等效修正系数与无量纲参数𝛼, 𝛽, 𝜀之间的关系，计算结果如图6所示。
建立等效修正系数𝛾与几何无量纲参数之间的关系拟合公式：
由图 6(a)和𝛾 拟合公式可得，随着系数𝛼的增大，等效长度的修正系数𝛾线性增加，𝛼由 0.5 变化 至 2.0，等效修正系数变化仅为 0.25，表明等效修正系数𝛾与几何参数上端紧固部 n之间的相关性较 低；由图 6(b)和𝛾 拟合公式可得，当系数𝛽 0.8时，等效长度的修正系数𝛾随着𝛽增加而线性减小， 当𝛽 0.8时，等效长度的修正系数不再随之变化，等效长度的修正系数与上端紧固部分的高度𝑙n相 关性较高；由图 6(c)和𝛾 拟合公式可得，随着系数𝜀增加，等效长度的修正系数𝛾呈持续的线性增加， 说明等效长度的修正系数与紧固件厚度𝑙f的相关性很高，等效长度的修正系数与三个几何参数的相关 性排列规律为𝜀 𝛽 𝛼。 (2) 材料参数的影响 紧固件结构的材料参数包括下端部分弹性模量𝐸n与紧固件主体的弹性模量𝐸fa tener，引入无量纲 参量𝜂和𝜆分别表征这两个参数与紧固件弹性模量𝐸 及被紧固件弹性模量𝐸的比值。选取公称直径 分 别为M12、M16、M24、M36为研究对象，参数取值如表3，几何参数均采用标准件，其中摩擦系数 𝜇 0.4。
应用 Parametric modeling of fasteners 进行紧固件的参数化模型建立及求解，基于能量法得到各 模型准确的紧固件刚度，进而求解等效修正系数与无量纲参数𝜂和𝜆，计算结果如图 7 所示。 建立等效长度的修正系数𝛾与材料参数之间的关系拟合公式：
如图7(a)和拟合公式𝛾 可得，随着𝜂的增加，等效长度修正系数𝛾线性降低，𝜂由0.5增加至3，𝛾 变 化0.1，说明等效长度修正系数𝛾与下端部紧固结构的材料参数𝐸n之间的相关性较低；如图7(b)和拟合 公式𝛾 可得，随着𝜆增加，等效长度修正系数𝛾呈现抛物线型式的下降，𝜆由0.5增加至3，𝛾 变化接近 4，且变化幅度明显，说明等效长度修正系数𝛾与被紧固件的材料参数𝐸fastener相关性较高，当2 𝜆 3， 等效长度修正系数𝛾的变化趋于平缓。 (3) 摩擦系数的影响 选取公称直径 分别为M12、M16、M24、M36为研究对象，几何参数均采用标准件，所有材料 均为钢。假设法向“硬”接触，摩擦系数以0.1为增量变化区间为0~0.4，应用Parametric modeling of fasteners进行紧固件的参数化模型建立及求解，基于能量法得到各模型准确的紧固件刚度，进而得到 摩擦系数𝜇与等效长度修正系数𝛾之间的关系，计算结果如图8所示。 随着摩擦系数𝜇从0增加至0.4，等效长度修正系数𝛾的最大变化值仅为0.05，摩擦系数𝜇 0时的 等效长度修正系数与摩擦系数𝜇 0.4相差4%，该结果与Alkatan[18]中的计算结果吻合，说明摩擦系 数对等效长度修正系数𝛾的影响可以忽略。
(4) 预紧力的影响 选取公称直径 分别为M12、M16、M24、M36为研究对象，几何参数均采用标准件，所有材料 均为钢。分别施加20%、40%、60%、80%、100%的预紧力，应用Parametric modeling of fasteners进 行紧固件的参数化模型建立及求解，基于能量法得到各模型准确的紧固件刚度，进而得到预紧力与 等效长度修正系数𝛾之间的关系，计算结果如图9所示，原始尺寸对等效长度修正系数有影响，随着 原始尺寸的增加，等效长度修正系数有所减小，但变化范围仅为0.02，而预紧力的变化与等效长度 修正系数之间的相关性最大误差为0.8%，说明预紧力对等效长度修正系数𝛾的影响也可以忽略。
如图10所示将紧固结构整体等效为柱状模型时，确定合理的等效修正面积是建立等效的模型的 关键，基于能量法得到精确的装配紧固结构刚度 𝑓的基础上通过式(22)可以得到：
与研究等效长度修正系数一致，由于紧固件端部的宽度 n对紧固等效的影响范围最大，因此以 该参数为基准量定义无量纲等效横截面𝐴f *：
紧固件连接的其它几何参量也以 n为基准定义相应的无量纲参量：
如前所述，紧固件连接结构刚度的相关研究中，除了紧固件自身刚度，对被紧固区域范围的连 接刚度进行了大量的研究工作[9-11],[15][18]。应用最广泛的方法是基于与被紧固件具有相同刚度的等效 圆锥体的模型[4][9]，作为附加几何参数的等效圆锥体角度通过各种经验公式与结构相关特性关联， Vadean[19]应用Massol[7]在Rasmussen[20]提出的经验公式上进行的改进，计算等效截面积𝐴f *：
实验研究表明，当(1
5 0.02 𝑙𝑓
10)上述公式满足要求，Alkatan[13]在Rasmussen公式
的基础上进行修正得到一个适用于薄壁被紧固结构等效截面积A𝑓
* 的计算公式：
如图11所示，以M20为例，计算了不同参数条件下的被紧固结构的等效截面面积𝐴𝑓
*，并用有限
元模型的结果进行了相应的验证，其中摩擦系数𝜇 0.2和𝜇 0的计算结果仅有(5%-10%)的误差，
表明被紧固件等效截面积与紧固件公称直径几乎无关，摩擦系数的影响也有限，主要的影响参数有
紧固件上端宽度，被紧固件的厚度及宽度，以及孔的直径。 3 等效参数的试验验证 3.1 试验的基本原理 在前述研究已证明，预紧力的大小对结构刚度的影响可以忽略，在此前提下，假设外载荷作用 大小与紧固件初始结构刚度无关，那么可以通过紧固不同弹性模型的结构，分别得到紧固件刚度 𝑏 和被紧固结构刚度 𝑓。 设计两个几何相同的被紧固件结构，材料分别选择钢和铝，具有弹性模型为𝐸𝑓 和𝐸𝑓 ，使用完 全相同的紧固件进行紧固，弹性模量为𝐸𝑏，不同外载荷𝐹𝑖作用下产生相同相对位移theta：
测试中下端采用施加扭矩加载的方式，旋转角度∆𝜃与整体伸长量成正比，只需要确定相同的扭 转角𝜃即可保证两个测试件的相同位移。通过紧固件上应变片的变化量𝜀得到各扭转角对应的轴向力 𝐹，利用式(27)和式(30)、(31)得到 𝑏、 𝑓𝑖的分离刚度值，以及影响面积𝐴𝑓，实验和数值计算的基本 原理如图12所示。
3.2 验证试验 设计钢制和铝制两种材料的被紧固试件，上部结构厚度为10mm，下部试件的厚度为12mm。中 心位置为紧固件的安装孔，采用M20的紧固件进行装配，在紧固件端部加工出测试线的开孔以方便 测试，如图13所示。
在紧固件杆身的周向对称位置贴单向应变片两个，以取其平均值作为轴向力的测试值，在C位置 处贴夹角为45的应变花以测量扭矩，其中单向应变片接1/4惠斯特电桥，应变花接1/2惠斯特电桥，并 做温度补偿，采用东华5922进行数据采集，测试贴片位置及实际布置如图14所示。
3.3 试验验证结果 分别对两组试件施加相同的扭转角度以保证得到相同的伸长量，选取测试值并进行数据采集， 得到轴向拉伸的一系列应变结果𝜀 𝑖和𝜀 𝑖，对应每个扭转角度取两个应变片应变值的均值作为轴向应变。
其中， 为贴片位置对应的截面积，计算得到相应的轴向力𝐹𝑖，根据试验原理得到相应的 𝑏、 𝑓 、 𝑓 和𝐴𝑓同时与前述基于能量法得到的数值结果进行对比，如图 15 所示，计算 个扭转角度，其中 6，对应测试值均值与基于能量法求解的结果进行比较，可以得出两者之间的误差，其中 𝑓 的 误差最大为 7.89%， 𝑏的误差最小为 2.88%，所有结果均在 10%以内，进一步验证了基于能量法轴 向等效刚度的准确性。
4 紧固件等效模型的应用 对于包含有大量紧固件结构或者对紧固件选择有要求的结构，合理的应用等效模型建模可以最 大限度的简化计算过程，本节在验证了基于能量法的紧固件轴向刚度研究的基础上，将前述等效模 型长度及修正面积的研究内容，应用 python 结合 ABAQUS 进行了等效模型参数化建模的插件的开 发如图 16 所示，在输入紧固件的基本参数后，在 Equivalent correction factor 中选择不同几何参数及 材料参数下的等效长度修正系数，从而生成紧固件的等效模型作为子结构模型，在包含有多个紧固 结构的组件中可以重复调用，从而减少了建模的复杂性。
选择几何参数𝛽和材料参数𝜂、𝜆为研究变量，首先应用紧固件等效模型的建模插件 Equivalent FM 生成不同参数变量的等效模型，以某车下牵引变流器冷却单元吊装结构建立应用数值模型。牵引变 流器冷却单元结构外围框架基本尺寸2700 700 1430 ，垂向对应图 17 中的 Y 轴，横 向对应 X 轴，纵向对应 Z 轴，共划分了 37738 个节点，43646 个单元，钢制材料，内部为铝合金材 质，总重量 543.26kg。 原始模型连接的紧固件采用六面体单元进行划分，采用预紧力单元模拟初始预紧，并在主吊及 紧固件之间设置接触关系；等效模型应用 Equivalent FM 建立不同参数的紧固件等效子模型，生成相 应的文件，在主体模型中进行调用，根据标准对两种模型均施加垂向方向1 加速度的工况，选取框 架上端面横向方向中心位置处的垂向位移，验证等效模型的适用性。两种模型对应不同参数变化的 对比计算结果如图 18 所示，由图 18(a)可得，当几何参数𝛽在 0.5~2.0 之间变化，等效模型与原始模 型之间所选取的测试点垂向位移误差最小为 1.1%，最大为 7.4%；由图 18(b)可得，当材料参数𝜂在 0.5~2.0 之间变化，该测试点垂向位移误差最小 0.5%，最大 4.37%；由图 18(c)可得，当材料参数𝜆在0.5~2.0 之间变化，测点垂向位移最小误差 9.17%，最大误差 35.4%。参数𝜆的变化对等效模型的精度 影响较大，垂向位移的变化规律与前述研究结果一致。
应用 Equivalent FM 建立等效模型对于采用多个紧固件进行连接的组件来说具有很好的适用性 及准确性。以上述牵引变流器冷却单元的吊装为例，因分析中涉及接触及预紧力加载，单个原始模 型的分析时长是采用等效模型的 6 倍，从计算效率的角度也验证了采用等效模型的合理性。 5 结束语 紧固件及被紧固结构的合理性简化是进行包含此类连接结构动态特性分析的基础，伴随变形产
生的能量与有限元法相结合可以方便快捷的进行此类结构的等效。本文开发了参数化建模工具，从4
个主要影响因素进行分析，得出了紧固件的等效长度修正系数公式，同时对被紧固结构等效无量纲
截面积进行了两种方法的验证并确定了合理的等效公式。针对实际结构开发了两种不同材质的双重
数值计算，为试验研究提供了方法并对基于能量法计算得到的等效刚度及有效面积进行了验证。应
用研究结果基于ABAQUS开发了紧固件等效模型生成插件Equivalent FM，以某车下牵引变流器冷却
单元吊装结构为例验证了等效分析的准确性及有效性，为解决此类复杂结构的提供了有效的应用方法。 本公众号由北京艾法斯特科技发展有限公司运营，欢迎大家技术交流，有感兴趣的朋友可以添加下面的微信号，进入我们的讨论群： 本公众号由北京艾法斯特科技发展有限公司运营，欢迎大家技术交流，请添加上面微信二维码，或致电联系我们： 杜：18601022409 任：13466666822 共同探讨螺栓预紧力测量的相关技术和市场信息，共同推进此产业的发展，实现共赢。北京艾法斯特公司（www.ifast-sensor.com）专业从事超声、视觉螺栓预紧力测量技术，产品主要有螺栓预紧力测量仪系列产品、螺栓预紧力长期监测产品、智能紧固件、以螺栓轴力控制的智能紧固工具。
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