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作者 科研圈的读者 编辑 武大可 对许多理、工专业的学生来说，数学或许并非最为核心的知识，却是学习道路上最大阻碍之一。上周，科研圈发布了一篇文章《所有理工科学生，都有必要学这么多这么难的数学吗？》，邀请读者分享自己对本科阶段理工科数学课程的看法，收到了数百位读者的问卷反馈和评论留言。 有效填写了问卷的读者绝大多数是国内高校的学生或校友，大部分来自理科专业（34%，数学除外）或工科专业（43%），对本科数学课程有着不同的看法。许多读者对高数等课程的内容设置、教学质量并不满意，但也有很多读者认为，问题并不出在课程和教学本身。 1. 高数难吗？有用吗？ 对于课程内容的难易程度（1 为最难，5 为最易），读者们有着各不相同的评价。不同专业的读者对高数等课程难易度的感受并没有太大差别，给出的分数平均都在 2.5-3.0 之间。 我们学校使用了同济第七版高数教材，逻辑和讲述都很清晰。但是，我是计算机专业的学生，实在是很缺乏时间认真学数学。而且，这些内容没有任何作用。我连“几乎”两个字都没加，就是因为微积分和多元微积分在计算机中根本没用上。我知道社会普遍认识就是计算机专业学生更需要数学，但是我从来用不上高等数学的知识。算法这一块的内容，离散数学反而是更有针对性的。 数学不好的生物狗大一学高数时快要学哭了，不是不努力，是真的很吃力…感觉如果不是从事生统、生信、生态等需要数学功底的分支，生物学学生也不需要那么难的数学。 对自己的数学学习非常不满意！基本上没懂，虽然考试分数还可以，但基本上没听懂老师讲的是什么。虽然也知道数学非常有用，但可能是当年的教学条件受限制。现在网上有很多视频，各种学习体会帮忙理解，在当年是没有这个条件的。所以，其实很多人根本就没学明白。我是后来在工作，听别的专家朋友介绍，知道了数学的重要性，又重新看书，勉强懂一些了，至少对基本的概念和问题能够看懂。 我正在美国一个还不错的大学读计算机，数学一直是让我很头疼的科目。虽然努努力能拿 A，但是工作量大于我所有计算机专业课的总和，而且记不住多久。虽然我能从数学中感受到一点美和成就感，而且能把其中一部分内容和我学的其他东西联系起来（主要是算法分析等等），但大部分数学内容我还是不明白有什么用。学长学姐会跟我说之后学什么什么的时候要用到，但我那时候估计都不记得了。唉，我专业课都挺自信的，但是就因为数学，感觉自己好笨啊。 来自物理、计算机等与数学联系紧密的学科的读者表示，本科低年级的数学学习难度不大、作用明显。也有很多其他专业的读者指出，尽管不同专业的学生所修的数学课程有所不同，但大多令学生感到内容过多、难度过高，所学的很多内容未来基本用不上——即使用得上，也得重新学。 2. 是什么让高数变得这么难？ 觉得大学数学学习有困难的读者，许多表示问题出在课程设置和教学方式。这样的感受在工科专业读者中尤为普遍。在“课程内容全面、章节设置合理”这一项上，来自理科专业的读者平均给出了 4.1 分，但工科专业的读者平均只给出了 2.6 分。 我们学校高数课程都是安排数学学院的老师们负责，他们对高数有深入并且独到的认知，但对于我们这些并非理论数学专业的同学（比如我是生命科学）来说，我们并没有太多意识和动机去深究数学原理以及过程，加上高数课程安排在本科第一学年，导致高数的授课和考试变成“为数学而数学”的状态，即便是对数学理解能力很好的同学也并不知道“学了这部份内容能用来做什么”；直到第三年深入学习专业课程时才开始有实际应用（部分专业更是到研究生都用不上诸如微积分、极限方面的内容）。我觉得这个断层是导致大部分学生考试结束后就把相关知识还给老师的主要原因。 很多高校理工科专业的数学课是纯数学出身老师授课，很好，但他们往往更习惯于展示推导过程，而没有足够的课时向学生演示如何应用，于是在学生进入非数学专业课程学习的时候就会显示出似乎都听到过某些定理，但是完全不会用的窘境。 很多教材反人性化，导致第一次入门太难。 与中学数学之间没有特别好的衔接，契合度不高。 教材粗糙混乱，背景交代不足，讲课古板抽象，作业简单敷衍，考试偏颇功利，这是我们高校数学教育的落后之处。会者不难，说难学很大程度上是因为教学落后。 同济的线性代数的教材基本不讲概念，只讲运算。 没有建立知识与知识之间的联系，不能帮助学生系统性地理解数学概念，导致学生往往在死记硬背地应试，而没有真正掌握数学原理和思维。只关注定理和运算，也使得一些学生即使课程成绩优秀，也无法在本专业的后续学习和工作中灵活高效地运用所学知识。 3. 虽然难，但必须学会 虽然让所有学生都掌握教学的全部内容并不是一件容易的事，但很多读者都指出，自己无论学的好与不好，都认可数学的重要性。（不考虑课程设置的具体内容和深度）要在大部分理工领域的生涯中取得长远发展，扎实的数学功底以及数学学习训练出的思维习惯，都是不可或缺的。 在美国某较好的公立大学教物理化学，学生跟其他大部分学校比算是不错的。不过，学生普遍很差的数学基础是我每次上课最头疼的地方，他们没有扎实的数学就没法好地理解物理化学图像，而想在用到的时候再补欠缺的数学太难了。同事中的老教授也跟我感慨二十多年来教学的难度只能调整得越来越低。衷心希望这点国内不要向美国学习。 个人以为，高数课程中并不是每个知识点都会将来用到（甚至绝大多数用不到），但是其对推理和逻辑的训练、理解和分析新知识的能力、以及思维严谨性和全面性的培养，都是对于其他 STEM 学科十分重要的。这和大学物理的作用有一些类似（当然数学更多地在抽象的层次上，物理更多地在直观的层次上）。 生物医学类号称理科中的文科，以前基本不用数学，但现在对生物信息学的要求是越来越高了，应该是大趋势。 这事情现在工作多年后的观点看，有点马后炮嫌疑。当时确实是懵，不知道为什么要学这些，需要后续实际用到了，回头再看，就发现当时的微积分用处了。不过，还是蛮打击当时学习的积极性的。 以同济《高数》为代表的一系列教材过于抽象，一味对空推演，会让大多数初学者感到“懵”——虽然这些教材过去取得了不错的成绩，但几十年过去，随着理工科的发展，学界与学生的需求也都在发生着变化。学习的内容一定要与时俱进，'吐故纳新’。 4. 该朝什么方向改？系统性很重要 读者们也展望了大学数学教学的发展方向。除了合理调整知识范围、深度以及教学的方式外，在课程设计中着重讲解知识与知识之间、知识与应用之间的系统性联系，也被认为是帮助学生理解记忆、提高应用能力的必要改进。 即使是抽象的分析过程，也应着重强调动机，否则教材读来就很容易淹没在一堆冗繁的计算步骤里。 还是要讲清楚整个数学学科的思想脉络和顶层逻辑。可以适当减少对解题能力的训练，而突出技巧和思想的灵活应用。 对我所在的生命科学（和生态学）而言，高数以及概率论统计分析都是很重要的技能，但是如果教学时可以结合本学科专业的实际应用例子以及实践，就能让学生更容易意识到“我学这个有什么用”的问题，并且也更容易引导学生将理论应用到实践中。 应当将分层式的课程（例如数学专业的数分、物理和工科专业高数 A、化学生物专业高数B等）改为分块式课程。其实分块式课程已经有学校在试行了，例如中国科学技术大学，程艺教授编写了一套《数学分析讲义》，该教材前两册相当于高数（但比同济版难一点），把数学分析的一些严密理论等内容（如实数理论，可积性）放到第三册讲；又如北京大学丘维声编写的《高等代数》（指的是高等教育出版社出版的两卷本），上册相当于线性代数的内容，下册学习多项式以及抽象的线性空间和线性变换。 对于非数学专业的学生而言，需要降低对证明的要求，侧重应用，加入 Mathematica 软件等的使用教学，培养学生的图像意识、用计算机辅助自己解决科学问题的能力等。另外我觉得现在的微积分课程对傅里叶变换、傅里叶积分等的重视程度不够。 美国俄亥俄赖特州立大学（Wright State University）2004 年就以“情境化数学课程”取代了工学院原有的微积分课程，格外强调了“数学的工程动机”，很快被全美数十所大学的工学院效仿。2013 年，美国加利福尼亚大学洛杉矶分校（UCLA）的生命科学系开发了两门课程，将生物和生理过程等复杂系统的建模作为微积分和线性代数教学的框架，并加入了计算机编程的基础教学。基于这套课程的教科书已经被全球许多大学的生命科学系用作微积分教材。 科研圈读者们从不同专业、不同职业的角度出发，都认为调整课程设置和内容难度是是必要的。读者们也指出，改进困难内容的教学并不一定意味着把它变简单，利用新的教学模式和教学工具、结合相关应用和科学史的讲解，都能够帮助学生建立知识框架和体系，更好地理解知识，掌握运用的能力。 看完大家分享的感受与思考，你是否也有话想说？欢迎在评论区继续留言讨论！ 封面图片来源：Pexels |
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